Questão 2

Resolva o Problema de Valor Inicial a seguir. Apresente claramente a obtenção da solução geral e a determinação da constante pela condição inicial:
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}+2xy=4x^{2},\qquad y(0)=1.
O que é pedido:
  • Obter a solução geral da equação diferencial.
  • Determinar a constante da solução usando a condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo tudo por 1+x^{2} (esse denominador nunca é zero para x\in\mathbb{R}):
\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y=\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}.
Aqui estamos escrevendo a equação como
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}} e Q(x)=\dfrac{4x^{2}}{1+x^{2}}. Explico: essa é a forma em que aplicamos o método do fator integrante.

Passo 3

Resumo do método do fator integrante (explicação didática):
  • Procuramos uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação inteira por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y:
\mu(x)\left(\frac{dy}{dx}+P(x)y\right)=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Para isso precisa valer \mu'(x)=\mu(x)P(x), o que implica
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Ou seja, calcula-se \mu integrando P e exponenciando. Depois multiplica-se a equação por \mu e integra-se.

Passo 4

Calculemos o fator integrante \mu(x):
\int P(x)\,dx=\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição natural u=1+x^{2} (ou reconhecendo derivada do denominador), obtemos
\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\ln(1+x^{2})+C.
Tomando a exponencial e escolhendo a constante multiplicativa e^{C}=1 (qualquer constante multiplicativa só escala \mu e será absorvida no C final), temos
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(1+x^{2})\big)=1+x^{2}.
Observação prática: aqui o fator integrante coincidentemente é exatamente o coeficiente que estava junto de \dfrac{dy}{dx} na equação original.

Passo 5

Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=1+x^{2} devolve a equação original no formato que mostra a derivada do produto:
(1+x^{2})\frac{dy}{dx}+2xy=\frac{d}{dx}\big((1+x^{2})y\big).
Logo a equação diferencial se escreve como
\frac{d}{dx}\big((1+x^{2})y\big)=4x^{2}.
Explicação: isto é exatamente o objetivo do fator integrante — transformar o lado esquerdo em uma derivada total.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((1+x^{2})y\big)\,dx=\int 4x^{2}\,dx.
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando (1+x^{2})y. No direito:
\int 4x^{2}\,dx=4\cdot\frac{x^{3}}{3}+\;C=\frac{4}{3}x^{3}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto obtemos a relação
(1+x^{2})y=\frac{4}{3}x^{3}+C.

Passo 7

Isolando y obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{\tfrac{4}{3}x^{3}+C}{1+x^{2}}.
Aqui C é a constante arbitrária que aparecerá determinada pela condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\frac{\tfrac{4}{3}\cdot 0^{3}+C}{1+0^{2}}=\frac{C}{1}=C.
Como y(0)=1, segue C=1.

Passo 9

Substituindo C=1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{\tfrac{4}{3}x^{3}+1}{1+x^{2}}.
Isso resolve o Problema de Valor Inicial. Dica prática para prova: sempre verifique se o lado esquerdo já é a derivada de algum produto simples; aqui isso poupou cálculo, pois \dfrac{d}{dx}[(1+x^{2})y] reproduz exatamente os termos dados.

Resposta

y(x)=\frac{\tfrac{4}{3}x^{3}+1}{1+x^{2}}

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