Questão 2
Resolva o Problema de Valor Inicial a seguir. Apresente claramente a obtenção da solução geral e a determinação da constante pela condição inicial:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que é pedido:
- Obter a solução geral da equação diferencial.
- Determinar a constante da solução usando a condição inicial
.
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo tudo por
(esse denominador nunca é zero para
):
Aqui estamos escrevendo a equação como
onde
e
. Explico: essa é a forma em que aplicamos o método do fator integrante.
Passo 3
Resumo do método do fator integrante (explicação didática):
- Procuramos uma função
tal que, ao multiplicar a equação inteira por , o lado esquerdo vire a derivada de :
- Para isso precisa valer
, o que implica
Ou seja, calcula-se
integrando
e exponenciando. Depois multiplica-se a equação por
e integra-se.
Passo 4
Calculemos o fator integrante
:
Fazendo a substituição natural
(ou reconhecendo derivada do denominador), obtemos
Tomando a exponencial e escolhendo a constante multiplicativa
(qualquer constante multiplicativa só escala
e será absorvida no
final), temos
Observação prática: aqui o fator integrante coincidentemente é exatamente o coeficiente que estava junto de
na equação original.
Passo 5
Multiplicando a forma padrão por
devolve a equação original no formato que mostra a derivada do produto:
Logo a equação diferencial se escreve como
Explicação: isto é exatamente o objetivo do fator integrante — transformar o lado esquerdo em uma derivada total.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando
. No direito:
onde
é a constante de integração. Portanto obtemos a relação
Passo 7
Isolando
obtemos a solução geral:
Aqui
é a constante arbitrária que aparecerá determinada pela condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, segue
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Isso resolve o Problema de Valor Inicial. Dica prática para prova: sempre verifique se o lado esquerdo já é a derivada de algum produto simples; aqui isso poupou cálculo, pois
reproduz exatamente os termos dados.