Questão 1

Resolva o Problema de Valor Inicial e verifique que sua solução satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+1}, \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o Problema de Valor Inicial dado por
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+1}, \qquad y(0)=3.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x y}{x^{2}+1}.
  • A condição inicial é y(0)=3.
    O objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x do domínio e que também verifique a condição inicial.

Passo 2

Identificar um método adequado: a equação pode ser separada em termos de y e x.
Explicando a ideia (passo-a-passo, como numa prova): uma equação é chamada separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=G(x)\,H(y),
pois então podemos separar as variáveis e integrar:
\frac{1}{H(y)}\,dy = G(x)\,dx.
Aqui vamos aplicar essa técnica: é simples, rápida e suficiente para resolver este PVI sem precisar de técnica mais avançada.

Passo 3

Separar as variáveis para esta equação específica. Começamos por colocar todos os termos envolvendo y em um lado e os termos envolvendo x no outro:
\frac{dy}{dx}=\frac{x y}{x^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy=\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Expliquei: dividi ambos os lados por y (assumindo y\neq0 momentaneamente) e multipliquei por dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Agora integramos as duas expressões em x e y:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Vou explicar como integrar cada lado:
  • À esquerda, \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1. Isso vem da primitiva básica do tipo \int y^{-1} dy.
  • À direita, usar a substituição u=x^{2}+1 (por isso dou os passos): se u=x^{2}+1 então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C_2 = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C_2.

Passo 5

Igualar as primitivas e agrupar constantes. Das integrais obtemos
\ln|y| + C_1 = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C_2.
Subtraindo C_1 e definindo a constante C=C_2-C_1, obtemos
\ln|y| = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
Explico: é comum juntar as constantes de integração em uma só, porque só precisamos de uma constante para a família geral de soluções.

Passo 6

Resolver para y explicitamente. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{\ln|y|} = e^{\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C} = e^{C}\,e^{\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)}.
Usando e^{\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)} = (x^{2}+1)^{1/2} = \sqrt{x^{2}+1} e definindo A=e^{C}>0, obtemos
|y| = A\,\sqrt{x^{2}+1}.
Portanto as soluções gerais são
y(x)=\pm A\,\sqrt{x^{2}+1}.
Comentário didático: o valor absoluto aparece porque integramos 1/y; no entanto a condição inicial vai escolher o sinal e o valor da constante.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=3 para determinar a constante. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\pm A\,\sqrt{0^{2}+1}=\pm A\cdot 1=\pm A.
Como y(0)=3 (positivo), devemos ter A=3 e sinal positivo. Logo a solução particular é
y(x)=3\,\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 8

Verificar que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (checar cálculo da derivada). Calcular a derivada de y(x)=3\sqrt{x^{2}+1} usando a regra da cadeia:
y(x)=3(x^{2}+1)^{1/2}
\frac{dy}{dx}=3\cdot\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora calcular o lado direito da equação original com esta y:
\frac{x\,y}{x^{2}+1}=\frac{x\cdot 3\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+1} = \frac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Como as duas expressões coincidem, a solução verifica a equação diferencial.

Passo 9

Verificar a condição inicial explicitamente: y(0)=3\sqrt{0^{2}+1}=3, que é exatamente a condição dada. Conclusão: a função encontrada satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. Observação final: y(x)=3\sqrt{x^{2}+1} é definida e diferenciável para todo x\in\mathbb{R}, portanto é solução global do PVI.

Resposta

y(x)=3\sqrt{x^{2}+1}

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