Questão 1
Resolva o Problema de Valor Inicial e verifique que sua solução satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o Problema de Valor Inicial dado por
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
O objetivo é encontrar uma funçãoque satisfaça a equação diferencial para todo do domínio e que também verifique a condição inicial.
Passo 2
Identificar um método adequado: a equação pode ser separada em termos de
e
.
Explicando a ideia (passo-a-passo, como numa prova): uma equação é chamada separável quando pode ser escrita na forma
Explicando a ideia (passo-a-passo, como numa prova): uma equação é chamada separável quando pode ser escrita na forma
pois então podemos separar as variáveis e integrar:
Aqui vamos aplicar essa técnica: é simples, rápida e suficiente para resolver este PVI sem precisar de técnica mais avançada.
Passo 3
Separar as variáveis para esta equação específica. Começamos por colocar todos os termos envolvendo
em um lado e os termos envolvendo
no outro:
Expliquei: dividi ambos os lados por
(assumindo
momentaneamente) e multipliquei por
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Agora integramos as duas expressões em
e
:
Vou explicar como integrar cada lado:
- À esquerda,
. Isso vem da primitiva básica do tipo . - À direita, usar a substituição
(por isso dou os passos): se então , logo . Assim
Passo 5
Igualar as primitivas e agrupar constantes. Das integrais obtemos
Subtraindo
e definindo a constante
, obtemos
Explico: é comum juntar as constantes de integração em uma só, porque só precisamos de uma constante para a família geral de soluções.
Passo 6
Resolver para
explicitamente. Exponenciando ambos os lados:
Usando
e definindo
, obtemos
Portanto as soluções gerais são
Comentário didático: o valor absoluto aparece porque integramos
; no entanto a condição inicial vai escolher o sinal e o valor da constante.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante. Substituindo
na expressão geral:
Como
(positivo), devemos ter
e sinal positivo. Logo a solução particular é
Passo 8
Verificar que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (checar cálculo da derivada). Calcular a derivada de
usando a regra da cadeia:
Agora calcular o lado direito da equação original com esta
:
Como as duas expressões coincidem, a solução verifica a equação diferencial.
Passo 9
Verificar a condição inicial explicitamente:
, que é exatamente a condição dada. Conclusão: a função encontrada satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. Observação final:
é definida e diferenciável para todo
, portanto é solução global do PVI.