Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.
a) f(x)=x+3x+2;
b) f(x)=ln x;
c) f(x)=2 x^3x^2+4;
d) f(x)=raiz64 x^2+12 x+1;
e) f(x)=x^2(x-1);
f) f(x)=e^x-1.

Passo 1

A questão pede para verificar se cada função tem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas e, em caso afirmativo, determinar suas equações. O conteúdo é limites e assíntotas de funções, e vamos precisar usar definições de assíntota vertical, horizontal e oblíqua, além de técnicas de limite e divisão de polinômios.

Passo 2

Antes de partir para cada função, vamos relembrar as definições:
Assíntota vertical ocorre em x=a se limxto af(x)=pminfty.
Assíntota horizontal em y=L se limxtopminftyf(x)=L.
Assíntota oblíqua existe quando deg(num)=deg(den)+1. Seus coeficientes vêm de:
A=limxtoinftyf(x)x, B=limxtoinftyl(f(x)-A xr)

Passo 3

Para f(x)=x+3x+2:
  • Denominador zero em x=-2 dá assíntota vertical x=-2.
  • Como grau do numerador e do denominador é igual, há assíntota horizontal em y=coeficiente líder: 1/1=1.
Logo: x=-2 e y=1.

Passo 4

Para f(x)=ln x:
  • Domínio é x>0, e ln xto-infty quando xto0^+, então há assíntota vertical x=0.
  • Quando xto+infty, ln xto+infty, sem assíntota horizontal ou oblíqua.

Passo 5

Para f(x)=2x^3x^2+4:
  • Denominador nunca anula ( x^2+4>0), sem assíntota vertical.
  • Como deg num=3 e deg den=2, procuramos oblíqua. Fazendo a divisão:
2x^3x^2+4=2x-8xx^2+4
Como 8xx^2+4to0 quando xtopminfty, a assíntota é y=2x.

Passo 6

Para f(x)=raiz64x^2+12x+1:
  • Denominador zera em x=-tfrac12, logo assíntota vertical x=-tfrac12.
  • Para xto+infty:
f(x)=8xraiz1+1/(64x^2)2x+1to82=4,
assíntota horizontal y=4.
  • Para xto-infty, usando raiz64x^2+1=8|x|=-8x,
f(x)sim-8x2x= -4,
portanto outra horizontal y=-4.

Passo 7

Para f(x)=x^2x-1:
  • Denominador anula em x=1, assíntota vertical x=1.
  • Graus diferem em 1, então há oblíqua. Dividindo:
x^2x-1=x+1+1x-1
O termo tfrac1x-1to0, então a assíntota é y=x+1.

Passo 8

Para f(x)=e^x-1:
  • Não há ponto em que o denominador zere e o domínio é todo R, sem vertical.
  • Para xto+infty, e^x-1to+infty, sem horizontal.
  • Para xto-infty, e^x-1to-1, então existe assíntota horizontal y=-1.

Resposta

a) assíntotas em x=-2 e y=1
b) assíntota em x=0
c) assíntota oblíqua y=2x
d) assíntota vertical x=-1/2 e horizontais y=4 (x→+∞) e y=-4 (x→-∞)
e) assíntota vertical x=1 e oblíqua y=x+1
f) assíntota horizontal y=-1

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