Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
A questão pede para verificar se cada função tem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas e, em caso afirmativo, determinar suas equações. O conteúdo é limites e assíntotas de funções, e vamos precisar usar definições de assíntota vertical, horizontal e oblíqua, além de técnicas de limite e divisão de polinômios.
Passo 2
Antes de partir para cada função, vamos relembrar as definições:
Assíntota vertical ocorre em
se
.
Assíntota horizontal em
se
.
Assíntota oblíqua existe quando
. Seus coeficientes vêm de:
Passo 3
Para
:
- Denominador zero em
dá assíntota vertical . - Como grau do numerador e do denominador é igual, há assíntota horizontal em
coeficiente líder: .
Logo:
e
.
Passo 4
Para
:
- Domínio é
, e quando , então há assíntota vertical . - Quando
, , sem assíntota horizontal ou oblíqua.
Passo 5
Para
:
- Denominador nunca anula (
), sem assíntota vertical. - Como
e , procuramos oblíqua. Fazendo a divisão:
Como
quando
, a assíntota é
.
Passo 6
Para
:
- Denominador zera em
, logo assíntota vertical . - Para
:
assíntota horizontal
.
- Para
, usando ,
portanto outra horizontal
.
Passo 7
Para
:
- Denominador anula em
, assíntota vertical . - Graus diferem em 1, então há oblíqua. Dividindo:
O termo
, então a assíntota é
.
Passo 8
Para
:
- Não há ponto em que o denominador zere e o domínio é todo
, sem vertical. - Para
, , sem horizontal. - Para
, , então existe assíntota horizontal .
Resposta
a) assíntotas em x=-2 e y=1
b) assíntota em x=0
c) assíntota oblíqua y=2x
d) assíntota vertical x=-1/2 e horizontais y=4 (x→+∞) e y=-4 (x→-∞)
e) assíntota vertical x=1 e oblíqua y=x+1
f) assíntota horizontal y=-1
b) assíntota em x=0
c) assíntota oblíqua y=2x
d) assíntota vertical x=-1/2 e horizontais y=4 (x→+∞) e y=-4 (x→-∞)
e) assíntota vertical x=1 e oblíqua y=x+1
f) assíntota horizontal y=-1