Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^2 t^2 y(t) não está
lim t +infty e^t^2 y(t)=0.

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem t,y''(t)+(-1+4t^2),y'(t)+20t^3,y(t)=0, t>0O conteúdo é resolução de uma equação linear com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y(t)=e^r t^2, já que o exercício sugere esse formato.

Passo 2

Substituição do ansatz: supondo y(t)=e^r t^2, calculamos as derivadas:
  • y'(t)=2r t,e^r t^2
  • y''(t)=(2r+4r^2t^2)e^r t^2.

Passo 3

Plugando na equação original e dividindo por e^r t^2:
  • Lado esquerdo vira t(2r+4r^2t^2)+(-1+4t^2)(2r t)+20t^3=0
    - Expandindo: 2r t+4r^2t^3-2r t+8r t^3+20t^3=0. Os termos 2r t se cancelam.

Passo 4

Formação da equação característica em t^3:
  • Coeficientes de t^3: 4r^2+8r+20=0.
  • Dividindo por 4: r^2+2r+5=0 com raízes r=-1pm2i.

Passo 5

Solução geral: escrevendo as raízes complexas em módulo e fase, obtemos
y(t)=e^-t^2l(C1cos(2t^2)+C2sin(2t^2)r),

Passo 6

Análise assintótica:
  • e^2t^2y(t)=e^2t^2e^-t^2(C1cos2t^2+C2sin2t^2)=e^t^2(C1cos2t^2+C2sin2t^2) Como e^t^2to+infty e o fator trigonométrico oscila entre -R e +R, esse produto cresce sem limite (logo não converge).
  • e^t^2y(t)=C1cos2t^2+C2sin2t^2 fica limitado e oscila, portanto não tende a zero.

Passo 7

Conclusão: apenas a afirmação sobre limtto+inftye^2t^2y(t) não convergir é verdadeira.

Resposta

A alternativa verdadeira é a primeira: limtto+inftye^2t^2y(t) não converge (diverge).

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