Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
não
está
.
Passo 1
Enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem
O conteúdo é resolução de uma equação linear com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de tentar uma solução do tipo
, já que o exercício sugere esse formato.
Passo 2
Substituição do ansatz: supondo
, calculamos as derivadas:
-
-
.
Passo 3
Plugando na equação original e dividindo por
:
- Lado esquerdo vira
- Expandindo:. Os termos se cancelam.
Passo 4
Formação da equação característica em
:
- Coeficientes de
: . - Dividindo por 4:
com raízes .
Passo 5
Solução geral: escrevendo as raízes complexas em módulo e fase, obtemos
Passo 6
Análise assintótica:
-
Como e o fator trigonométrico oscila entre e , esse produto cresce sem limite (logo não converge). -
fica limitado e oscila, portanto não tende a zero.
Passo 7
Conclusão: apenas a afirmação sobre
não convergir é verdadeira.
Resposta
A alternativa verdadeira é a primeira:
não converge (diverge).