Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
a) integral0^1 x^7+3 x d x
b) integral-1^4 x^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais definidas de funções polinomiais usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f, então
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a) Como polinômios são contínuos em qualquer intervalo, ambas as integrais existem.

Passo 2

Para a parte (a), a função é f(x)=x^7+3x. Vamos achar uma primitiva F(x) integrando termo a termo:
integral x^7,dx = x^88, integral 3x,dx = 3x^22 Logo,
F(x) = x^88 + 3x^22

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental na parte (a), calculamos
F(1) - F(0) = l(1^88 + 3cdot1^22r) - 0 = 18 + 32 = 1 + 128 = 138

Passo 4

Para a parte (b), a função é g(x)=x^6. A primitiva H(x) é dada por
H(x) = integral x^6,dx = x^77

Passo 5

Avaliando de -1 a 4, temos
H(4) = 4^77 = 163847, H(-1) = (-1)^77 = -17,
portanto
H(4) - H(-1) = 163847 - l(-17r) = 163857

Resposta

(a) 138; (b) 163857.

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