Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty t^-3 e^-1+t^2 y(t)=y^prime(1)2+y(1).

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis e a gente sabe que admite soluções do tipo y(t)=e^r t^2. Vamos usar isso para encontrar as raízes de um “polinômio característico” em r e daí montar a solução geral.

Passo 2

Supondo y(t)=e^r t^2, temos
y'=2rt,e^rt^2, y''=(2r+4r^2t^2)e^rt^2

Passo 3

Substituindo em
t y''+(-1+4t^2)y'+20t^3y=0 vem
t(2r+4r^2t^2)+( -1+4t^2)2rt+20t^3=t^3(4r^2+8r+20)=0

Passo 4

Logo o “característico” é
4r^2+8r+20=0implies r=-1pm2i

Passo 5

Assim a solução geral é
y(t)=e^-t^2,(A,cos(2t^2)+B,sin(2t^2))

Passo 6

Para tto+infty, o fator e^-t^2 decai superexponencialmente, então
y(t)=O(e^-t^2)Rightarrow t^-3e^-1+t^2y(t)=e^-1,t^-3[Acos(2t^2)+Bsin(2t^2)], que tende a zero porque t^-3to0 mesmo com a oscilação.
Portanto
limtto+inftyt^-3e^-1+t^2y(t)=0

Passo 7

A alternativa que diz que esse limite é y'(1)/2+y(1) só seria verdade para TODAS as soluções se sempre y'(1)/2+y(1)=0, o que não ocorre em geral.

Resposta

O limite vale 0.

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