Questão 2. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
não está definido e
.
Passo 1
Estamos com a EDO de segunda ordem
que é linear e homogênea. O enunciado diz que existe solução do tipo
. Para entender o comportamento geral em
, vamos achar a solução geral e estudar
.
Passo 2
Vamos buscar uma solução da forma
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO dividida por
obtemos
Isso leva à condição
que só se satisfaz para
, ou seja
. Logo uma solução é
Passo 3
Para encontrar a segunda solução, primeiro colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo a equação original por
achamos
Pela redução de ordem, se
, então
Calculamos
Então
Passo 4
A solução geral fica
Agora vamos ver o comportamento de
:
Se
, esse termo cresce como
e tende a
ou
(dependendo do sinal de
). Se
, fica constante
.
Passo 5
Como o valor limite de
depende da constante
(pode ser infinito ou um valor finito diferente de zero, dependendo das condições iniciais), não há um limite único para todas as soluções. Portanto,
não está definido.
Resposta
A primeira alternativa é verdadeira:
não está definido.