Questão 2. Considere a equação diferencial
t^2 d^2 yd t^2-t(2-4 t^2) d yd t+(4 t^4-2 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^t^2 y(t) não está definido e
lim t +infty e^t^2 y(t)=0.

Passo 1

Estamos com a EDO de segunda ordem
t^2y''-t(2-4t^2)y'+(4t^4-2t^2)y=0,
que é linear e homogênea. O enunciado diz que existe solução do tipo y=e^r t^2. Para entender o comportamento geral em tto+infty, vamos achar a solução geral e estudar e^t^2y(t).

Passo 2

Vamos buscar uma solução da forma y=e^r t^2. Calculamos as derivadas:
y'=2r t,e^r t^2,
y''=(2r+4r^2t^2)e^r t^2
Substituindo na EDO dividida por e^r t^2 obtemos
t^2(2r+4r^2t^2)-t(2-4t^2)(2r t)+(4t^4-2t^2)=0
Isso leva à condição
(r+1)t^2[2(r+1)t^2-1]=0,
que só se satisfaz para r+1=0, ou seja r=-1. Logo uma solução é y1=e^-t^2

Passo 3

Para encontrar a segunda solução, primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=0
Dividindo a equação original por t^2 achamos
P(t)=-2-4t^2t=-2t+4t,
Q(t)=4t^2-2
Pela redução de ordem, se y1=e^-t^2, então
y2=y1integrale^-integral P(t)dty1^2dt
Calculamos
integral P(t)dt=-2ln t+2t^2,
e^-integral Pdt=t^2e^-2t^2
Então
y2=e^-t^2integralt^2e^-2t^2e^-2t^2dt=e^-t^2integral t^2dt=t^33e^-t^2

Passo 4

A solução geral fica
y(t)=C1e^-t^2+C2t^33e^-t^2= e^-t^2l(C1+C23t^3r)
Agora vamos ver o comportamento de e^t^2y(t):
e^t^2y(t)=C1+C23t^3
Se C2neq0, esse termo cresce como t^3 e tende a +infty ou -infty (dependendo do sinal de C2). Se C2=0, fica constante C1.

Passo 5

Como o valor limite de e^t^2y(t) depende da constante C2 (pode ser infinito ou um valor finito diferente de zero, dependendo das condições iniciais), não há um limite único para todas as soluções. Portanto, limtto+inftye^t^2y(t) não está definido.

Resposta

A primeira alternativa é verdadeira: limtto+inftye^t^2y(t) não está definido.

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