Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, para calcular as seguintes integrais definidas:
(5) integral0^pi cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, a gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, que basicamente liga a derivada e a integral. Vamos precisar achar uma antiderivada de e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são 0 e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma função que derivate para integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) + C . Sabemos que a derivada de é , então para voltar atrás, a antiderivada de será . Ou seja:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, a gente não precisa se preocupar com ela.

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, a gente avalia essa antiderivada nos limites de integração. Primeiro, vamos calcular para 12 sin(2pi) = 12 times 0 = 0 :
Porque é igual a 0.

Passo 4

Em seguida, calculamos para 12 sin(0) = 12 times 0 = 0 :
Novamente, é 0.

Passo 5

Agora, subtraímos os valores obtidos:
0 - 0 = 0
Então, a integral definida é igual a 0.

Resposta

A integral é igual a 0.

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