Questão 2. Considere a equação diferencial
t^2 d^2 yd t^2-t(2-4 t^2) d yd t+(4 t^4-2 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
f lim t +infty e^2 t^2 y(t) não está definido e
lim t +infty e^t^2 y(t)=0.

Passo 1

A questão dá a EDO t^2y'' - t(2 - 4t^2)y' + (4t^4 - 2t^2)y = 0 para t>0 e pergunta como se comporta e^2t^2y(t) e e^t^2y(t) quando tto+infty. Vamos usar um chute do tipo y=e^r t^2 para achar uma solução e depois obter a solução geral para estudar esses limites.

Passo 2

Primeiro, assumimos y=e^r t^2. Calculamos y'=2r t e^r t^2 e y''=(2r+4r^2t^2)e^r t^2. Substituindo na EDO e coletando termos em t^4 e t^2, chega-se a (r+1)[4(r+1)t^4-2t^2]e^r t^2=0. Como t>0, só vem r=-1. Portanto uma solução é y1(t)=e^-t^2.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Escrevemos y2(t)=u(t)y1(t). O método padrão dá y2(t)=t^3e^-t^2 (até constante multiplicativa). Então a solução geral é y(t)=C1e^-t^2+C2t^3e^-t^2.

Passo 4

Agora estudamos os limites:
Em primeiro lugar
e^t^2y(t)=C1+C2t^3,
que para tto+infty vai para +infty sempre que C2neq0.
Em seguida
e^2t^2y(t)=C1e^t^2+C2t^3e^t^2,que também diverge para +infty (logo não tem limite finito).

Resposta

A alternativa é falsa. Na verdade limtto+inftye^2t^2y(t)=+infty e limtto+inftye^t^2y(t)=+infty, não zero.

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