Questão 1. Considere a equação
a) Resolva a equação homogênea sujeita a condição inicial,
.
b) Avalie o comportamento da solução quando
e quando
, e esboce a solução para
.
c) Para
resolva a equação não homogênea (sem condições iniciais) usando o método dos coeficientes indeterminados.
d) Para
, proponha uma solução para a equação não homogênea para se usar o método dos coeficientes indeterminados. Justifique sua escolha. (NÃO CALCULE AS CONSTANTES).
b) Avalie o comportamento da solução quando
c) Para
d) Para
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
São pedidos quatro itens:
a) Resolver a equação homogênea sujeita às condições iniciais e
.
b) Analisar o comportamento da solução obtida no item (a) quando e quando
, e esboçar a solução em
.
c) Para : resolver a equação não homogênea (sem condições iniciais) usando o método dos coeficientes indeterminados.
d) Para : propor uma forma de solução particular adequada ao método dos coeficientes indeterminados e justificar a escolha (não calcular as constantes).
a) Resolver a equação homogênea sujeita às condições iniciais
b) Analisar o comportamento da solução obtida no item (a) quando
c) Para
d) Para
Informações relevantes dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e os diversos termos de forçamento
em (c) e (d); em (a)/(b) estamos no caso homogêneo (ou seja,
) com condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (ou seja, colocar
) e explicar a técnica usada.
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos
e obtemos
Resolver essa equação algébrica é equivalente a encontrar as soluções exponenciais que compõem a solução geral da homogênea. Factorizando,
logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais associadas:
onde
e
são constantes a determinar por condições iniciais.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais
e
na solução homogênea e calcular as constantes passo a passo.
A solução geral homogênea que encontramos é
A solução geral homogênea que encontramos é
Calculamos a derivada:
Agora avaliamos em
:
Da segunda equação isolamos
:
Substituindo na primeira:
Portanto a solução homogênea com as condições iniciais é
Passo 4
Analisar o comportamento da solução do item (a) quando
e
e discutir monotonicidade e assíntotas (para depois esboçar).
A solução é
A solução é
Comportamento:
- Quando
, . Logo
Isso indica uma assíntota horizontal
à medida que
cresce.
- Quando
, . Logo
Monotonicidade: calculamos
. Como
para todo
, temos
sempre, ou seja,
é estritamente decrescente em toda reta. Isso faz sentido com os limites: vindo do
quando
, a curva desce e tende para
quando
.
Esboço mental: uma curva decrescente que sai de
à esquerda, passa por
, e se aproxima horizontalmente de
à direita.
Passo 5
Introdução didática ao método dos coeficientes indeterminados (regra e ideia) — vamos usar isso em (c) e (d).
Ideia: quando a equação é linear com coeficientes constantes e tem forma “simples” (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produtos desses), procuramos uma solução particular
com forma semelhante a
mas com constantes indeterminadas. Substituímos
na equação e igualamos coeficientes para determinar essas constantes. Atenção ao fenômeno de ressonância: se um termo da forma
(ou
vezes polinômio) coincide com uma solução da homogênea (i.e.,
é raiz da característica), então devemos multiplicar o palpite por
, onde
é a multiplicidade de
como raiz, para obter um palpite linearmente independente da homogênea.
Ideia: quando a equação é linear com coeficientes constantes e
Exemplo prático das regras:
- Para um forçamento polinomial de grau
, sem ressonância com , tentamos um polinômio de grau . - Para
, tentamos ; se é raiz da característica de multiplicidade , multiplicamos por . - Para
ou , tentamos ; se (ou ) é raiz complexa da característica, multiplicar por . - Para produtos (polinômio)
ou (polinômio) , combinamos as ideias: palpite é (polinômio do mesmo grau) times a exponencial ou combinações seno/cosseno, e aplicar fator em caso de ressonância.
Passo 6
Aplicar o método dos coeficientes indeterminados ao item (c):
. Escolher palpite e calcular os coeficientes passo a passo.
Separar
em duas partes e procurar uma solução particular como soma de duas partes:
onde
atende o termo polinomial
e
atende
.
Para o termo polinomial
:
- Grau do polinômio é
. Normalmente tentaríamos . - Mas como
é raiz da equação característica (isto é, a homogênea tem uma solução constante), há ressonância de ordem . Portanto multiplicamos o palpite por . Assim tomamos
ou seja,
vezes um polinômio de grau
, que resulta em grau
sem termo constante (o termo constante da forma original seria absorvido pela homogênea).
Calcular derivadas para
:
Substituindo em
e igualando a
:
Expandindo:
Igualando coeficientes por potência de
:
Portanto
Para o termo
:
- Como
não é raiz da equação característica (as raízes são e ), não há ressonância. - Tentamos
. Derivadas:
Substituindo:
Igualando a
dá
. Logo
Assim uma solução particular para todo
é
Passo 7
Escrever a solução geral da equação não homogênea do item (c) (sem condições iniciais), juntando homogênea e particular.
A solução geral é
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Tratar o item (d): propor uma forma de solução particular para
e justificar cada parte pelo método dos coeficientes indeterminados, sem calcular constantes.
Separar os três termos que compõem
:
-
. - É do tipo
com (polinômio de grau ) e . - Como
é raiz da equação característica (temos como raiz simples), há ressonância de ordem . - Regra: proponha
, onde . Portanto escolhemos
Essa multiplicação porgarante independência linear da solução homogênea. - É do tipo
-
. - É do tipo
com (grau ). - As raízes imaginárias associadas seriam
, que não aparecem na característica (nossas raízes são e ). Não há ressonância. - Regra: para polinômio grau
multiplicando seno, propomos polinômio grau multiplicando as combinações seno/cosseno:
- É do tipo
-
. - É do tipo
com e . As raízes complexas associadas seriam . - Essas raízes não coincidem com as raízes da característica (
e ), logo não há ressonância. - Regra: para tal termo, propomos
- É do tipo
Juntando tudo, uma forma adequada de solução particular para
é a soma:
onde
são constantes indeterminadas a serem encontradas se fôssemos calcular as constantes (mas o enunciado pede apenas a proposta e justificativa).
Resposta
a)
b)
A solução é estritamente decrescente, com assíntota horizontal
para
.
c)
d) Uma forma apropriada de solução particular (sem calcular constantes) é
com justificativa: o fator
extra no primeiro termo é devido à ressonância com a raiz
da característica; os outros termos seguem as formas padrão para polinômio
e para
sem ressonância.