Questão 1. Considere a equação
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}=g(t)
a) Resolva a equação homogênea sujeita a condição inicial, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1.
b) Avalie o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty e quando t \rightarrow-\infty, e esboce a solução para t \in(-\infty, \infty).
c) Para g(t)=2 t^{2}+e^{2 t} resolva a equação não homogênea (sem condições iniciais) usando o método dos coeficientes indeterminados.
d) Para g(t)=t\left(e^{-2 t}+\sin 3 t\right)+e^{-3 t} \cos t, proponha uma solução para a equação não homogênea para se usar o método dos coeficientes indeterminados. Justifique sua escolha. (NÃO CALCULE AS CONSTANTES).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}=g(t).
São pedidos quatro itens:
a) Resolver a equação homogênea sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1.
b) Analisar o comportamento da solução obtida no item (a) quando t\to\infty e quando t\to-\infty, e esboçar a solução em (-\infty,\infty).
c) Para g(t)=2t^{2}+e^{2t}: resolver a equação não homogênea (sem condições iniciais) usando o método dos coeficientes indeterminados.
d) Para g(t)=t\bigl(e^{-2t}+\sin 3t\bigr)+e^{-3t}\cos t: propor uma forma de solução particular adequada ao método dos coeficientes indeterminados e justificar a escolha (não calcular as constantes).
Informações relevantes dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e os diversos termos de forçamento g(t) em (c) e (d); em (a)/(b) estamos no caso homogêneo (ou seja, g(t)=0) com condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (ou seja, colocar g(t)=0) e explicar a técnica usada.
A equação homogênea é
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos y=e^{rt} e obtemos
r^{2}+2r=0.
Resolver essa equação algébrica é equivalente a encontrar as soluções exponenciais que compõem a solução geral da homogênea. Factorizando,
r(r+2)=0,
logo as raízes são r=0 e r=-2. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais associadas:
y_{h}(t)=C_{1}e^{0\cdot t}+C_{2}e^{-2t}=C_{1}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar por condições iniciais.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1 na solução homogênea e calcular as constantes passo a passo.
A solução geral homogênea que encontramos é
y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}.
Calculamos a derivada:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(C_{1}+C_{2}e^{-2t}\bigr)= -2C_{2}e^{-2t}.
Agora avaliamos em t=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y'(0)=-2C_{2}=-1.
Da segunda equação isolamos C_{2}:
-2C_{2}=-1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na primeira:
C_{1}+\tfrac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução homogênea com as condições iniciais é
y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}.

Passo 4

Analisar o comportamento da solução do item (a) quando t\to\infty e t\to-\infty e discutir monotonicidade e assíntotas (para depois esboçar).
A solução é
y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Comportamento:
  • Quando t\to\infty, e^{-2t}\to 0. Logo
\lim_{t\to\infty}y(t)=\tfrac{1}{2}.
Isso indica uma assíntota horizontal y=\tfrac{1}{2} à medida que t cresce.
  • Quando t\to -\infty, e^{-2t}=e^{+2|t|}\to\infty. Logo
\lim_{t\to -\infty}y(t)=+\infty.
Monotonicidade: calculamos y'(t)=-e^{-2t}. Como e^{-2t}>0 para todo t, temos y'(t)<0 sempre, ou seja, y é estritamente decrescente em toda reta. Isso faz sentido com os limites: vindo do +\infty quando t\to -\infty, a curva desce e tende para \tfrac{1}{2} quando t\to\infty.
Esboço mental: uma curva decrescente que sai de +\infty à esquerda, passa por y(0)=1, e se aproxima horizontalmente de y=\tfrac{1}{2} à direita.

Passo 5

Introdução didática ao método dos coeficientes indeterminados (regra e ideia) — vamos usar isso em (c) e (d).
Ideia: quando a equação é linear com coeficientes constantes e g(t) tem forma “simples” (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produtos desses), procuramos uma solução particular y_{p}(t) com forma semelhante a g(t) mas com constantes indeterminadas. Substituímos y_{p} na equação e igualamos coeficientes para determinar essas constantes. Atenção ao fenômeno de ressonância: se um termo da forma e^{rt} (ou e^{rt} vezes polinômio) coincide com uma solução da homogênea (i.e., r é raiz da característica), então devemos multiplicar o palpite por t^{s}, onde s é a multiplicidade de r como raiz, para obter um palpite linearmente independente da homogênea.
Exemplo prático das regras:
  • Para um forçamento polinomial de grau n, sem ressonância com r=0, tentamos um polinômio de grau n.
  • Para e^{\alpha t}, tentamos A e^{\alpha t}; se \alpha é raiz da característica de multiplicidade m, multiplicamos por t^{m}.
  • Para \sin(\omega t) ou \cos(\omega t), tentamos A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t); se i\omega (ou -i\omega) é raiz complexa da característica, multiplicar por t^{m}.
  • Para produtos (polinômio) \times e^{\alpha t} ou (polinômio) \times\sin/\cos, combinamos as ideias: palpite é (polinômio do mesmo grau) times a exponencial ou combinações seno/cosseno, e aplicar fator t^{m} em caso de ressonância.

Passo 6

Aplicar o método dos coeficientes indeterminados ao item (c): g(t)=2t^{2}+e^{2t}. Escolher palpite e calcular os coeficientes passo a passo.
Separar g(t) em duas partes e procurar uma solução particular como soma de duas partes:
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
onde y_{p1} atende o termo polinomial 2t^{2} e y_{p2} atende e^{2t}.
Para o termo polinomial 2t^{2}:
  • Grau do polinômio é 2. Normalmente tentaríamos At^{2}+Bt+C.
  • Mas como r=0 é raiz da equação característica (isto é, a homogênea tem uma solução constante), há ressonância de ordem m=1. Portanto multiplicamos o palpite por t^{1}. Assim tomamos
y_{p1}(t)=\alpha t^{3}+\beta t^{2}+\gamma t,
ou seja, t vezes um polinômio de grau 2, que resulta em grau 3 sem termo constante (o termo constante da forma original seria absorvido pela homogênea).
Calcular derivadas para y_{p1}:
y_{p1}'(t)=3\alpha t^{2}+2\beta t+\gamma,
y_{p1}''(t)=6\alpha t+2\beta.
Substituindo em y''+2y' e igualando a 2t^{2}:
(6\alpha t+2\beta)+2(3\alpha t^{2}+2\beta t+\gamma)=2t^{2}.
Expandindo:
6\alpha t^{2}+(6\alpha+4\beta)t+(2\beta+2\gamma)=2t^{2}+0\cdot t+0.
Igualando coeficientes por potência de t:
  • t^{2}:\quad 6\alpha=2\Rightarrow \alpha=\tfrac{1}{3}.
  • t^{1}:\quad 6\alpha+4\beta=0\Rightarrow 6\cdot\tfrac{1}{3}+4\beta=0\Rightarrow 2+4\beta=0\Rightarrow \beta=-\tfrac{1}{2}.
  • t^{0}:\quad 2\beta+2\gamma=0\Rightarrow 2(-\tfrac{1}{2})+2\gamma=0\Rightarrow -1+2\gamma=0\Rightarrow \gamma=\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p1}(t)=\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t.
Para o termo e^{2t}:
  • Como r=2 não é raiz da equação característica (as raízes são 0 e -2), não há ressonância.
  • Tentamos y_{p2}(t)=A e^{2t}. Derivadas:
y_{p2}'=2A e^{2t},\qquad y_{p2}''=4A e^{2t}.
Substituindo:
y_{p2}''+2y_{p2}'=(4A+4A)e^{2t}=8A e^{2t}.
Igualando a e^{2t} 8A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{8}. Logo
y_{p2}(t)=\tfrac{1}{8}e^{2t}.
Assim uma solução particular para todo g(t) é
y_{p}(t)=\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{8}e^{2t}.

Passo 7

Escrever a solução geral da equação não homogênea do item (c) (sem condições iniciais), juntando homogênea e particular.
A solução geral é
y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}+\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{8}e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 8

Tratar o item (d): propor uma forma de solução particular para
g(t)=t\bigl(e^{-2t}+\sin 3t\bigr)+e^{-3t}\cos t,
e justificar cada parte pelo método dos coeficientes indeterminados, sem calcular constantes.
Separar os três termos que compõem g(t):
  1. t e^{-2t}.
    • É do tipo P_{1}(t)e^{\alpha t} com P_{1}(t)=t (polinômio de grau 1) e \alpha=-2.
    • Como \alpha=-2 é raiz da equação característica (temos r=-2 como raiz simples), há ressonância de ordem m=1.
    • Regra: proponha t^{m}Q(t)e^{\alpha t}, onde \deg Q=\deg P_{1} =1. Portanto escolhemos
    y_{p,a}(t)=t\bigl(A t+B\bigr)e^{-2t}= (A t^{2}+B t)e^{-2t}.
    Essa multiplicação por t garante independência linear da solução homogênea.
  2. t\sin 3t.
    • É do tipo P_{2}(t)\sin(3t) com P_{2}(t)=t (grau 1).
    • As raízes imaginárias associadas seriam r=\pm 3i, que não aparecem na característica (nossas raízes são 0 e -2). Não há ressonância.
    • Regra: para polinômio grau 1 multiplicando seno, propomos polinômio grau 1 multiplicando as combinações seno/cosseno:
    y_{p,b}(t)=(C t+D)\cos 3t+(E t+F)\sin 3t.
  3. e^{-3t}\cos t.
    • É do tipo e^{\alpha t}\cos(\beta t) com \alpha=-3 e \beta=1. As raízes complexas associadas seriam r=-3\pm i.
    • Essas raízes não coincidem com as raízes da característica ( 0 e -2), logo não há ressonância.
    • Regra: para tal termo, propomos
    y_{p,c}(t)=\bigl(G\cos t+H\sin t\bigr)e^{-3t}.
Juntando tudo, uma forma adequada de solução particular para g(t) é a soma:
y_{p}(t)=(A t^{2}+B t)e^{-2t}+(C t+D)\cos 3t+(E t+F)\sin 3t+(G\cos t+H\sin t)e^{-3t},
onde A,B,C,D,E,F,G,H são constantes indeterminadas a serem encontradas se fôssemos calcular as constantes (mas o enunciado pede apenas a proposta e justificativa).

Resposta

a) y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\tfrac{1}{2},\qquad \displaystyle \lim_{t\to -\infty}y(t)=+\infty. A solução é estritamente decrescente, com assíntota horizontal y=\tfrac{1}{2} para t\to\infty.
c) \displaystyle y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}+\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{8}e^{2t}.
d) Uma forma apropriada de solução particular (sem calcular constantes) é
y_{p}(t)=(A t^{2}+B t)e^{-2t}+(C t+D)\cos 3t+(E t+F)\sin 3t+(G\cos t+H\sin t)e^{-3t},
com justificativa: o fator t extra no primeiro termo é devido à ressonância com a raiz r=-2 da característica; os outros termos seguem as formas padrão para polinômio \times \sin/\cos e para e^{-3t}\cos t sem ressonância.

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