Questão 2 Determine, sem resolver o problema, o intervalo máximo no qual a solução do problema de valor inicial certamente existe.
\left\{\begin{aligned} (\ln x) y^{\prime}+\frac{y}{x-3} & =e^{x} \\\ y(2) & =1 . \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} (\ln x)\,y' + \dfrac{y}{x-3} = e^{x},\\[4pt] y(2)=1. \end{cases}
O que nos pedem: determinar, sem resolver a equação, o maior intervalo em que a solução decorrente de y(2)=1 certamente existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função \ln x aparece multiplicando y', então precisamos de x>0 para que \ln x esteja definida.
  • Há dois denominadores que podem anular-se: \ln x (zerando em x=1) e x-3 (zerando em x=3).
  • O ponto inicial é x_0=2, que está entre 1 e 3.]

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x) dividindo por \ln x (válido apenas onde \ln x\neq0 e \ln x está definida):
y' + \underbrace{\frac{1}{(x-3)\ln x}}_{p(x)}\,y = \underbrace{\frac{e^{x}}{\ln x}}_{q(x)}.
Aqui explico o porquê disso ser útil: a teoria de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem diz que, se p(x) e q(x) são contínuas num intervalo aberto I que contém x_0, então existe uma única solução definida em todo esse intervalo I. Portanto nossa tarefa é encontrar o maior intervalo aberto contendo x_0=2 onde p(x) e q(x) são contínuas.

Passo 3

Analisamos onde p(x) e q(x) são descontínuas ou indefinidas:
  • \ln x está definida somente para x>0. Para x\le 0 nem sequer podemos escrever a equação.
  • \ln x=0 quando x=1, portanto em x=1 tanto p(x) quanto q(x) têm divisão por zero.
  • x-3=0 em x=3, portanto p(x) tem pólo em x=3.
    Logo os pontos problemáticos (singularidades) na parte positiva da reta são x=1 e x=3. O ponto inicial x_0=2 fica estritamente entre esses dois pontos.

Passo 4

O maior intervalo aberto que contém x_0=2 e que não atinge nenhuma das singularidades é o intervalo entre 1 e 3, ou seja (1,3). Em todo (1,3) temos \ln x\neq0, x\neq3 e x>0, portanto p(x) e q(x) são contínuas em (1,3). Pelo teorema de existência e unicidade citado, existe uma única solução definida em todo (1,3). Não podemos garantir existência além de 1 ou 3 porque ali os coeficientes deixam de ser contínuos (divisão por zero), então (1,3) é o intervalo máximo onde a solução “certamente” existe.

Resposta

(1,3)

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