Questão 1 - Verifique se a função
definida por
é diferenciável em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada por
é diferenciável em todo ponto do seu domínio. Informações relevantes que temos:
- O domínio é
, ou seja, todos os pontos com . - A função envolve a raiz
e o logaritmo , definidos quando . - A tarefa é verificar diferenciabilidade (para cada ponto do domínio).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
de forma mais simples usando
. Então
Como
no domínio, podemos usar a identidade
com
. Assim outra forma conveniente é
onde
. Essa reescrita é útil porque separa a dependência da distância
ao invés de tratar
e
diretamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
(uma função de uma variável). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia elementar:
-
tem derivada . -
tem derivada .
Aplicando a regra do produto:
Agora colocamos em denominador comum para simplificar:
Esse cálculo é só uma derivada unidimensional: explica como a função que depende de
varia quando
varia.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
em relação a
e
. Note que
tem derivadas parciais
Pela cadeia:
e análogamente para
. Simplificando os fatores
:
Substituindo
de volta:
Se você preferir ver pela forma radial
: derivando em
dá
, e então
com
, que leva à mesma expressão acima. Isso mostra consistência entre métodos.
Passo 5
Agora vamos checar continuidade das derivadas parciais. As expressões obtidas são produtos/razões de funções elementares:
- A função
e são contínuas. - A função
é contínua para . - A função
é contínua e não nula no domínio porque .
Portanto cada componente da gradiente
é uma função composta de funções contínuas em todo ponto com
. Logo as derivadas parciais existem e são contínuas no domínio
.
Passo 6
Usamos agora um resultado padrão (que vou explicar de forma simples): se as derivadas parciais de uma função existem numa vizinhança de um ponto e são contínuas nesse ponto, então a função é diferenciável nesse ponto (ou seja, admite aproximação linear dada pelo gradiente). Não é preciso provar o teorema aqui em detalhe, mas intuitivamente continuidade das parciais impede comportamentos “estranhos” e garante que a melhor aproximação linear (o diferencial) realmente descreve o comportamento local da função.
Aplicando esse teorema: como mostramos no Passo 5 que as derivadas parciais existem e são contínuas em cada ponto do domínio (onde
), concluímos que
é diferenciável em todo ponto do domínio.
Passo 7
Resumo prático (como usar na prova): para mostrar diferenciabilidade de funções do tipo
com
suficientemente regular em
, uma boa estratégia é:
- escrever
e calcular ; - usar
e análogo para ; - verificar que essas derivadas parciais são contínuas no domínio (geralmente porque
e as funções elementares são contínuas); - concluir diferenciabilidade pelo teorema das derivadas parciais contínuas.
No nosso casoé diferenciável para e este procedimento funciona direto.
Resposta
Sim.
é diferenciável em
.\n