Questão 4. Considere no espaço R^3 o subconjunto S=(1,0,2),(0,1,-1),(1,1,1),(2,2,3) Temos as seguintes afirmaçōes:
(I) O conjunto S é base de R^3
(II) O conjunto S gera R^3.
(III) O conjunto S É L.D. V
Quantas afirmaçōes sĩo VERDADEIRAS?
Nenhuma Duas Todas Uma

Passo 1

Temos o conjunto
S = v1=(1,0,2),,v2=(0,1,-1),,v3=(1,1,1),,v4=(2,2,3)
no espaço R^3. Precisamos verificar três propriedades:
  1. S é base de R^3?
    Lembrando que uma base de R^3 deve ser um conjunto de exatamente 3 vetores linearmente independentes que geram R^3.
  2. S gera R^3?
    Ou seja, o espaço gerado por S tem dimensão 3.
  3. S é linearmente dependente?
    Isto é, existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores de S.

Passo 2

Para testar a dependência linear (afirmação III), buscamos coeficientes não todos nulos tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = (0,0,0)
Note que
v3 = v1 + v2,
pois
(1,0,2)+(0,1,-1)=(1,1,1). Logo existe relação não trivial (por exemplo 1cdot v1 +1cdot v2 -1cdot v3 =0), de modo que S é linearmente dependente.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Passo 3

Para verificar que S gera R^3 (afirmação II), basta mostrar que há três vetores de S linearmente independentes.
Considere v1,v2,v4. Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3
O determinante é
det(M) =1cdotdet1&2-1&3 -0cdotl(cdotsr) +2cdotdet0&12&-1 =1cdot(3+2)+2cdot(0-2) =5-4=1neq0
Como det(M)neq0, os vetores v1,v2,v4 são LI e, sendo três vetores LI em R^3, eles geram todo R^3.
Logo, a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Uma base de R^3 deve ter exatamente 3 vetores e ser LI. Aqui S tem 4 vetores e já vimos que é LD, portanto não pode ser base.
Assim, a afirmação I é falsa.

Resposta

Duas afirmações são verdadeiras.

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