Questão 4. Considere no espaço o subconjunto Temos as seguintes afirmaçōes:
(I) O conjunto é base de
(II) O conjunto gera .
(III) O conjunto É L.D.
Quantas afirmaçōes sĩo VERDADEIRAS?
Nenhuma Duas Todas Uma
Passo 1
Temos o conjunto
no espaço . Precisamos verificar três propriedades:
é base de ?
Lembrando que uma base de deve ser um conjunto de exatamente 3 vetores linearmente independentes que geram .
gera ?
Ou seja, o espaço gerado por tem dimensão 3.
é linearmente dependente?
Isto é, existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores de .
Passo 2
Para testar a dependência linear (afirmação III), buscamos coeficientes não todos nulos tais que
Note que
pois . Logo existe relação não trivial (por exemplo ), de modo que é linearmente dependente.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Passo 3
Para verificar que gera (afirmação II), basta mostrar que há três vetores de linearmente independentes.
Considere . Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Como det(M)neq0, os vetores v1,v2,v4 são LI e, sendo três vetores LI em R^3, eles geram todo R^3.
Logo, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Uma base de R^3 deve ter exatamente 3 vetores e ser LI. Aqui S tem 4 vetores e já vimos que é LD, portanto não pode ser base.
Assim, a afirmação I é falsa.