Questão 2. Considere a transformação linear T: R^4 M2(R) dada por T(x, y, z, w)=(ccx+y & y y+z & w). Temos as seguintes afirmações:
(I) Té injetora.
(II) Té sobrejetora.
(III) O conjunto B=(1,1,1,0) é base para o núcleo de T.
Quantas afirmações são VERDADEIRAS?
Todas Nenhumn
Duas
(ima

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^4to M2(R), T(x,y,z,w)=x+y & y y+z & w
Precisamos checar se T é injetora, sobrejetora e se B=(1,1,1,0) é base do núcleo. Para isso, usaremos o Teorema do Posto e da Nulidade, sabendo que dimR^4=4 e dim M2(R)=4.

Passo 2

Identificamos M2(R)approxR^4 via
T(x,y,z,w)long<=ftrightarrow (,x+y,;y,;y+z,;w,)
Assim, basta ver T como aplicação de R^4 em R^4 dada por
T(x,y,z,w) = (x+y,;y,;y+z,;w)

Passo 3

Vamos ao posto examinando as imagens dos vetores canônicos:
T(e1)=(1,0,0,0), T(e2)=(1,1,1,0), T(e3)=(0,0,1,0), T(e4)=(0,0,0,1)
Suponha
a,T(e1)+b,T(e2)+c,T(e3)+d,T(e4)=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema
a+b=0, b=0, b+c=0, d=0,
cuja única solução é a=b=c=d=0. Logo os quatro vetores são LI e
posto(T)=4

Passo 4

Pelo Teorema do Posto e da Nulidade,
dim(ker T)=4-posto(T)=4-4=0,
logo ker T=0. Como posto(T)=4=dim M2(R), T é sobrejetora e, por nulidade zero, também injetora. O conjunto B não pode ser base do núcleo (que só tem o vetor zero).

Resposta

Duas

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