Questão 2. Considere a transformação linear
dada por
. Temos as seguintes afirmações:
(I) Té injetora.
(II) Té sobrejetora.
(III)
conjunto
é base para o núcleo de
.
Quantas afirmações são VERDADEIRAS?
Todas Nenhumn
Duas
(ima
(I) Té injetora.
(II) Té sobrejetora.
(III)
Todas Nenhumn
Duas
(ima
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Precisamos checar se
é injetora, sobrejetora e se
é base do núcleo. Para isso, usaremos o Teorema do Posto e da Nulidade, sabendo que
e
.
Passo 2
Identificamos
via
Assim, basta ver
como aplicação de
em
dada por
Passo 3
Vamos ao posto examinando as imagens dos vetores canônicos:
Suponha
Isso gera o sistema
cuja única solução é
. Logo os quatro vetores são LI e
Passo 4
Pelo Teorema do Posto e da Nulidade,
logo
. Como
,
é sobrejetora e, por nulidade zero, também injetora. O conjunto
não pode ser base do núcleo (que só tem o vetor zero).
Resposta
Duas