Questäo 5. Considere o operador linear dado por T(x, y, z)=(3 x, x+y, 2 x+y+z). Temos as seguintes afirmações:
(I) T possui trés autovalores distintos.
(II) v=(4,1,5) é um autovetor de T.
(III) Cada autoespaço de T tem dimensân igual a 1 .
Quantas afirmaçũes são VERDADEIRAS?
Todas
Uma
(D)
Nenhuma Duas

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (3x,;x+y,;2x+y+z)
e pede quantas das afirmações abaixo são verdadeiras:
(I) T possui três autovalores distintos.
(II) v=(4,1,5) é um autovetor de T.
(III) Cada autoespaço de T tem dimensão igual a 1.
Para resolver vamos achar os autovalores de T, verificar se v é autovetor, e calcular as dimensões dos autoespaços.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 3 & 0 & 0 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 3-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & 0 2 & 1 & 1-lambda = (3-lambda)det1-lambda & 01 & 1-lambda = (3-lambda)(1-lambda)^2
Logo os autovalores são lambda=3 (mult. alg. 1) e lambda=1 (mult. alg. 2). Como há apenas dois valores distintos, (I) é falsa.

Passo 4

Para (II) calculamos
T(4,1,5) = (3cdot4,;4+1,;2cdot4+1+5) = (12,5,14)
Se fosse autovetor, teríamos (12,5,14)=lambda(4,1,5). Da primeira coordenada vem lambda=3, mas na segunda daria lambda=5. Contradição, então (II) é falsa.

Passo 5

Para (III) achamos as dimensões dos autoespaços:
— Para lambda=3, mult. alg. 1Rightarrow mult. geom. <=1, sempre é 1.
— Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0:
2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 (x,y,z)=0 implies x=0,;y=0,;z livre,
logo dimensão 1. Assim cada autoespaço tem dimensão 1, e (III) é verdadeira.

Passo 6

Das três afirmações, apenas (III) é verdadeira. Portanto há exatamente uma afirmação verdadeira.

Resposta

Uma

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