Questäo 5. Considere o operador linear dado por . Temos as seguintes afirmações:
(I) possui trés autovalores distintos.
(II) é um autovetor de .
(III) Cada autoespaço de tem dimensân igual a 1 .
Quantas afirmaçũes são VERDADEIRAS?
Todas
Uma
(D)
Nenhuma Duas
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
e pede quantas das afirmações abaixo são verdadeiras:
(I) possui três autovalores distintos.
(II) é um autovetor de .
(III) Cada autoespaço de tem dimensão igual a .
Para resolver vamos achar os autovalores de , verificar se é autovetor, e calcular as dimensões dos autoespaços.
Logo os autovalores são lambda=3 (mult. alg. 1) e lambda=1 (mult. alg. 2). Como há apenas dois valores distintos, (I) é falsa.
Passo 4
Para (II) calculamos
T(4,1,5) = (3cdot4,;4+1,;2cdot4+1+5) = (12,5,14)
Se fosse autovetor, teríamos (12,5,14)=lambda(4,1,5). Da primeira coordenada vem lambda=3, mas na segunda daria lambda=5. Contradição, então (II) é falsa.
Passo 5
Para (III) achamos as dimensões dos autoespaços:
— Para lambda=3, mult. alg. 1Rightarrow mult. geom. <=1, sempre é 1.
— Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0: