Questão 6. Considere
o espaço vetorial das funções reais com as operações usuais. Sejam
, para todo
e
, para alguma
a) Mostre que
não é subespaço vetorial de
.
b) Mostre que
é subespaço vetorial de
.
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado nos coloca no espaço vetorial
com soma e multiplicação por escalar usuais e define
O objetivo é testar se cada
satisfaz as três condições de subespaço:
- conter a função zero,
- ser fechado sob soma,
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos mostrar que
não é subespaço. Escolha qualquer
; por definição
para todo
. Se tomarmos o escalar
, então
, ou seja, a função zero. Mas a função zero não satisfaz
. Logo
, o que viola a condição de fechamento por escalar. Alternativamente, a própria função zero não pertence a
, então
falha em conter o vetor zero. Conclusão:
não é subespaço.
Passo 3
Agora vamos verificar que
é subespaço de
.
- (zero) Como
(é positiva), a função pertence a . Assim a função zero está em . - (soma) Se
e com , então
Como
e
temos
, logo
.
3. (multiplicação por escalar) Para e
com
,
3. (multiplicação por escalar) Para
Como
, a função
está em
e, portanto,
.
Como as três propriedades estão satisfeitas,
é subespaço de
.
Resposta
a)
não é subespaço vetorial de
.
b) é subespaço vetorial de
.
b)