Questão 6. Considere F=f: R longrightarrow R o espaço vetorial das funções reais com as operações usuais. Sejam
S1=f in F: f(x)>0, para todo x in R e S2=g in F: g(x)=log (f(x)), para alguma f in S1
a) Mostre que S1 não é subespaço vetorial de F.
b) Mostre que S2 é subespaço vetorial de F.

Passo 1

O enunciado nos coloca no espaço vetorial F=f:RtoR com soma e multiplicação por escalar usuais e define
S1=finF:f(x)>0 forall xinR,
S2=lginF:g(x)=logl(f(x)r) para algum fin S1r
O objetivo é testar se cada Si satisfaz as três condições de subespaço:
  1. conter a função zero,
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos mostrar que S1 não é subespaço. Escolha qualquer fin S1; por definição f(x)>0 para todo x. Se tomarmos o escalar lambda=0, então (0cdot f)(x)=0, ou seja, a função zero. Mas a função zero não satisfaz f(x)>0. Logo 0cdot fnotin S1, o que viola a condição de fechamento por escalar. Alternativamente, a própria função zero não pertence a S1, então S1 falha em conter o vetor zero. Conclusão: S1 não é subespaço.

Passo 3

Agora vamos verificar que S2 é subespaço de F.
  1. (zero) Como 1in S1 (é positiva), a função g0(x)=log(1)=0 pertence a S2. Assim a função zero está em S2.
  2. (soma) Se g1(x)=logl(f1(x)r) e g2(x)=logl(f2(x)r) com f1,f2in S1, então
g1(x)+g2(x) =logl(f1(x)r)+logl(f2(x)r) =logl(f1(x),f2(x)r)
Como f1(x)>0 e f2(x)>0 temos f1f2in S1, logo g1+g2in S2.
3. (multiplicação por escalar) Para alphainR e g(x)=logl(f(x)r) com fin S1,
alpha,g(x) =alpha,logl(f(x)r) =logl(f(x)^alphar)
Como f(x)^alpha>0, a função xmapsto f(x)^alpha está em S1 e, portanto, alpha gin S2.
Como as três propriedades estão satisfeitas, S2 é subespaço de F.

Resposta

a) S1 não é subespaço vetorial de F.
b) S2 é subespaço vetorial de F.

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