Questão 8. Seja
o espaço vetorial das funções reais de
em
, com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar. Considere os seguintes subconjuntos de
:
-
-
, para todo
-
é derivável,
-
-
-
Faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Para cada subconjunto acima, determine se ele é um subespaço vetorial de
.
(b) Se for um subespaço, demonstre verificando as propriedades necessárias.
(c) Se não for subespaço, forneça uma justificativa clara mostrando ao menos uma propriedade que falha (por exemplo: não conter o vetor nulo, não ser fechado sob adição, etc).
(b) Se for um subespaço, demonstre verificando as propriedades necessárias.
(c) Se não for subespaço, forneça uma justificativa clara mostrando ao menos uma propriedade que falha (por exemplo: não conter o vetor nulo, não ser fechado sob adição, etc).
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções
e apresenta seis subconjuntos
. A tarefa é, para cada subconjunto, decidir se ele é subespaço de
, usando os critérios de conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em produto por escalar, ou então apontar qual dessas propriedades falha.
Passo 2
Critério de subespaço. Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 3
Conjunto
.
- A função nula
corresponde a , logo . - Se
e , então
- Para
,
Logo
satisfaz 1–3 e é subespaço.
Passo 4
Conjunto
, ou seja, funções constantes.
- A função nula é constante, então
. - Soma de constantes é constante e 3) múltiplo escalar de constante é constante.
Logoé subespaço.
Passo 5
Conjunto
.
A função nula é diferenciável, soma de diferenciáveis é diferenciável e escalar vezes diferenciável é diferenciável.
Logo satisfaz 1–3 e é subespaço.
A função nula é diferenciável, soma de diferenciáveis é diferenciável e escalar vezes diferenciável é diferenciável.
Logo
Passo 6
Conjunto
.
A função nula não pertence pois , falhando 1. Além disso, se
e
então
, falhando 2.
Portanto não é subespaço.
A função nula não pertence pois
Portanto
Passo 7
Conjunto
.
A função nula falha , então não contém o zero. Para
e
,
, falhando 3.
Logo não é subespaço.
A função nula falha
Logo
Passo 8
Conjunto
.
-
, logo . - Se
então
- Para
,
Logo
é subespaço.
Resposta
A: subespaço.
B: subespaço.
C: subespaço.
D: não é subespaço (não contém e não é fechado em soma).
E: não é subespaço (não contém e não é fechado em mult. por escalar).
F: subespaço.
B: subespaço.
C: subespaço.
D: não é subespaço (não contém
E: não é subespaço (não contém
F: subespaço.