Questão 8. Seja F o espaço vetorial das funções reais de R em R, com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar. Considere os seguintes subconjuntos de F :
  1. A=f in F mid f(x)=a x^2+b x+c, com a, b, c in R
  2. B=f in F mid f^prime(x)=0, para todo x in R
  3. C=f in F mid f é derivável, forall x in R
  4. D=f in F mid f(0)=1
  5. E=f in F mid f(x)>0, forall x in R
  6. F=f in F mid integral0^1 f(x) d x=0

Faça o que se pede em cada item abaixo:

(a) Para cada subconjunto acima, determine se ele é um subespaço vetorial de F.
(b) Se for um subespaço, demonstre verificando as propriedades necessárias.
(c) Se não for subespaço, forneça uma justificativa clara mostrando ao menos uma propriedade que falha (por exemplo: não conter o vetor nulo, não ser fechado sob adição, etc).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F das funções RtoR e apresenta seis subconjuntos
A,B,C,D,E,F. A tarefa é, para cada subconjunto, decidir se ele é subespaço de F, usando os critérios de conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em produto por escalar, ou então apontar qual dessas propriedades falha.

Passo 2

Critério de subespaço. Um subconjunto Wsubset V é subespaço vetorial se e somente se satisfaz:
  1. 0in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 3

Conjunto A=finFmid f(x)=ax^2+bx+c,;a,b,cinR.
  1. A função nula f(x)=0 corresponde a a=b=c=0, logo 0in A.
  2. Se f(x)=a1x^2+b1x+c1 e g(x)=a2x^2+b2x+c2, então
(f+g)(x)=(a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)in A
  1. Para lambdainR,
(lambda f)(x)=(lambda a1)x^2+(lambda b1)x+(lambda c1)in A
Logo A satisfaz 1–3 e é subespaço.

Passo 4

Conjunto B=finFmid f'(x)=0, ou seja, funções constantes.
  1. A função nula é constante, então 0in B.
  2. Soma de constantes é constante e 3) múltiplo escalar de constante é constante.
    Logo B é subespaço.

Passo 5

Conjunto C=finFmid f é diferenciável em Réá.
A função nula é diferenciável, soma de diferenciáveis é diferenciável e escalar vezes diferenciável é diferenciável.
Logo C satisfaz 1–3 e é subespaço.

Passo 6

Conjunto D=finFmid f(0)=1.
A função nula não pertence pois 0(0)=0neq1, falhando 1. Além disso, se f(0)=1 e g(0)=1 então (f+g)(0)=2neq1, falhando 2.
Portanto D não é subespaço.

Passo 7

Conjunto E=finFmid f(x)>0,;forall x.
A função nula falha f(x)>0, então não contém o zero. Para lambda=-1 e fin E, (lambda f)(x)=-f(x)<0, falhando 3.
Logo E não é subespaço.

Passo 8

Conjunto F=finFmid integral0^1f(x),dx=0.
  1. integral0^10,dx=0, logo 0in F.
  2. Se f,gin F então
integral0^1(f+g)(x),dx =integral0^1f(x),dx+integral0^1g(x),dx =0+0=0,
  1. Para lambdainR,
integral0^1(lambda f)(x),dx =lambdaintegral0^1f(x),dx =lambdacdot0=0
Logo F é subespaço.

Resposta

A: subespaço.
B: subespaço.
C: subespaço.
D: não é subespaço (não contém 0 e não é fechado em soma).
E: não é subespaço (não contém 0 e não é fechado em mult. por escalar).
F: subespaço.

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