Questão 4.
(a)
;
(b)
Seja
a diferença de potencial (DDP) no fio com
. Determine a média e a variância de
.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- O fio tem resistência
- Perguntas:
(a) Determine a média de.(b) Com e , determine e .]
Passo 2
Verificar rapidamente que
é uma densidade (ou seja, integra 1). Isso é importante porque as fórmulas de média e variância usam integrais sobre a densidade.
Calculemos
Primeira integral:
Segunda integral:
Avaliaremos os termos:
Somando:
Logo
é de fato uma f.d.p.
Passo 3
Recordando a definição de média (esperança) para variável contínua: para uma variável
com densidade
,
Aqui a integração reduz-se ao suporte
. Vamos calcular separadamente nas duas regiões.
Calcule
:
Calcule
. Expanda o integrando:
Logo
Avalie nos extremos:
No ponto :
No ponto
No ponto
:
Diferença:
Passo 4
Agora somamos as partes para obter
:
Interpretando: a corrente média esperada durante a operação curta é
ampères (≈
).
Passo 5
Para a variância precisamos de
. Fórmula:
Novamente separamos em dois trechos.
Primeira parte:
Segunda parte:
Avalie:
Em :
Em
Em
:
Diferença:
Passo 6
Somando as partes de
:
A variância é
Calculemos com frações:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Numericam.:
.
Passo 7
Agora parte (b):
com
. Usamos regras de transformações lineares:
- Regra da esperança:
. Aqui , . - Regra da variância:
.
Aplicando:
Numericam.:
.