Questão 4. (3,5)\) Considere um fio de cobre com resistência igual a \(R=3 \Omega\). Suponha que a corrente elétrica \(X\) (em ampères) que atravessa esse fio durante uma operação de curta duração tenha f.d.p dada por \[f(x)= \begin{cases}2 x / 3, & 0<x<1 \\\\ -x / 3+1, & 1 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
(a) (2,5)\] Determine a média e a variância de \(X;
(b) (1,0) Seja Y=R \cdot X a diferença de potencial (DDP) no fio com R=3. Determine a média e a variância de Y.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O fio tem resistência R=3\\ \Omega\). - A corrente elétrica \(X\) tem f.d.p. \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{2x}{3}, & 0<x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & 1\le x<3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • Perguntas:
    (a) Determine a média \mathbb{E}[X]\] e a variância \(\mathrm{Var}(X) de X.(b) Com Y=R\cdot X e R=3, determine \mathbb{E}[Y] e \mathrm{Var}(Y).]

Passo 2

Verificar rapidamente que f é uma densidade (ou seja, integra 1). Isso é importante porque as fórmulas de média e variância usam integrais sobre a densidade.
Calculemos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \frac{2x}{3}\,dx + \int_{1}^{3}\left(-\frac{x}{3}+1\right)\,dx.
Primeira integral:
\int_{0}^{1}\frac{2x}{3}\,dx = \frac{2}{3}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Segunda integral:
\int_{1}^{3}\left(-\frac{x}{3}+1\right)\,dx = \left[-\frac{x^{2}}{6}+x\right]_{1}^{3}.
Avaliaremos os termos:
\left(-\frac{9}{6}+3\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right)=\left(-\frac{3}{2}+3\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right)=\frac{3}{2}-\frac{5}{6}=\frac{2}{3}.
Somando:
\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Logo f é de fato uma f.d.p.

Passo 3

Recordando a definição de média (esperança) para variável contínua: para uma variável X com densidade f,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui a integração reduz-se ao suporte 0<x<3. Vamos calcular separadamente nas duas regiões.
Calcule \int_{0}^{1} x\cdot\frac{2x}{3}\,dx:
\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{3}\,dx=\frac{2}{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}.
Calcule \int_{1}^{3} x\left(-\frac{x}{3}+1\right)\,dx. Expanda o integrando:
x\left(-\frac{x}{3}+1\right)=-\frac{x^{2}}{3}+x.
Logo
\int_{1}^{3}\left(-\frac{x^{2}}{3}+x\right)\,dx=\left[-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3}.
Avalie nos extremos:
No ponto x=3:
-\frac{27}{9}+\frac{9}{2}=-3+\frac{9}{2}=\frac{3}{2}.
No ponto x=1:
-\frac{1}{9}+\frac{1}{2}=\frac{-2+9}{18}=\frac{7}{18}.
Diferença:
\frac{3}{2}-\frac{7}{18}=\frac{27-7}{18}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}.

Passo 4

Agora somamos as partes para obter \mathbb{E}[X]:
\mathbb{E}[X]=\frac{2}{9}+\frac{10}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
Interpretando: a corrente média esperada durante a operação curta é \dfrac{4}{3} ampères (≈ 1{,}333\\ \mathrm{A}).

Passo 5

Para a variância precisamos de \mathbb{E}[X^{2}]. Fórmula:
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}f(x)\,dx.
Novamente separamos em dois trechos.
Primeira parte:
\int_{0}^{1} x^{2}\cdot\frac{2x}{3}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{2x^{3}}{3}\,dx=\frac{2}{3}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.
Segunda parte:
\int_{1}^{3} x^{2}\left(-\frac{x}{3}+1\right)\,dx=\int_{1}^{3}\left(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\right)\,dx=\left[-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}.
Avalie:
Em x=3:
-\frac{81}{12}+\frac{27}{3}=-\frac{27}{4}+9=\,-6{,}75+9=2{,}25=\frac{9}{4}.
Em x=1:
-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
Diferença:
\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2.

Passo 6

Somando as partes de \mathbb{E}[X^{2}]:
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{1}{6}+2=\frac{13}{6}.
A variância é
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}=\frac{13}{6}-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}.
Calculemos com frações:
\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}.
Colocando em denominador comum 18:
\frac{13}{6}=\frac{39}{18},\qquad \frac{16}{9}=\frac{32}{18}.
Logo
\mathrm{Var}(X)=\frac{39}{18}-\frac{32}{18}=\frac{7}{18}.
Numericam.: \mathrm{Var}(X)=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}3889.

Passo 7

Agora parte (b): Y=R\cdot X com R=3. Usamos regras de transformações lineares:
  • Regra da esperança: \mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b. Aqui a=R, b=0.
  • Regra da variância: \mathrm{Var}(aX+b)=a^{2}\,\mathrm{Var}(X).
Aplicando:
\mathbb{E}[Y]=R\cdot\mathbb{E}[X]=3\cdot\frac{4}{3}=4.
\mathrm{Var}(Y)=R^{2}\cdot\mathrm{Var}(X)=3^{2}\cdot\frac{7}{18}=9\cdot\frac{7}{18}=\frac{7}{2}.
Numericam.: \mathrm{Var}(Y)=3{,}5.

Resposta

\mathbb{E}[X]=\dfrac{4}{3},\\ \mathrm{Var}(X)=\dfrac{7}{18}.\n \mathbb{E}[Y]=4,\\ \mathrm{Var}(Y)=\dfrac{7}{2}.

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