Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios.
f) Em uma urna há 5 bolas identificadas pelas letras
. Sorteiam-se duas bolas, uma após a outra com reposição, e anota-se a configuração formada.
f) Em uma urna há 5 bolas identificadas pelas letras
Passo 1
O enunciado pede que eu defina um espaço amostral para o experimento seguinte: há uma urna com 5 bolas identificadas por
. Sorteiam-se duas bolas, uma após a outra, com reposição, e anota-se a configuração formada.
Informações dadas que vou usar explicitamente:
Informações dadas que vou usar explicitamente:
- O conjunto de etiquetas na urna é
. - São feitas duas retiradas sequenciais.
- Há reposição entre as retiradas (ou seja, após a primeira retirada a bola volta para a urna antes da segunda).
- Anota-se a configuração formada (isto é, o resultado da primeira e da segunda retirada, em ordem).
Passo 2
O que é um espaço amostral?
Um espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada elemento desse conjunto representa uma ocorrência completa do experimento (a chamada “saída” ou “outcome”). Por exemplo, no lançamento de uma moeda duas vezes o espaço amostral é — note que eu escrevo como pares ordenados porque a ordem importa (primeiro lançamento, segundo lançamento).
Um espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada elemento desse conjunto representa uma ocorrência completa do experimento (a chamada “saída” ou “outcome”). Por exemplo, no lançamento de uma moeda duas vezes o espaço amostral é
Passo 3
Entendendo o efeito da reposição.
Como há reposição, a composição da urna é a mesma nas duas retiradas: em cada retirada há sempre 5 possibilidades ( ). Isso faz com que as duas retiradas sejam, do ponto de vista de possibilidades, independentes: o resultado da primeira não elimina opções para a segunda.
Como há reposição, a composição da urna é a mesma nas duas retiradas: em cada retirada há sempre 5 possibilidades (
Passo 4
A importância da ordem (por que usar pares ordenados).
O enunciado diz “uma após a outra” e anota-se a “configuração formada” — isso indica que devemos registrar qual foi a primeira e qual foi a segunda bola. Logo, outcomes diferentes na ordem são distintos: por exemplo, é diferente de
. Portanto o espaço amostral será formado por pares ordenados
.
O enunciado diz “uma após a outra” e anota-se a “configuração formada” — isso indica que devemos registrar qual foi a primeira e qual foi a segunda bola. Logo, outcomes diferentes na ordem são distintos: por exemplo,
Passo 5
Representação matemática do espaço amostral e contagem de elementos.
Seja o conjunto das etiquetas da urna. O espaço amostral é o produto cartesiano
Seja
ou seja, todos os pares ordenados com primeira componente sendo a primeira retirada e segunda componente sendo a segunda retirada.
Fórmula de contagem: se cada retirada tem possibilidades e fazemos
retiradas com reposição, o número total de outcomes é
. Aqui
e
, logo o número de elementos é
. Posso, para ilustrar, dar alguns exemplos de outcomes:
, etc.
Fórmula de contagem: se cada retirada tem
Passo 6
Conclusão: o espaço amostral contém todos os 25 pares ordenados formados por letras de
. Abaixo eu apresento o espaço amostral explicitamente.