3^ a Questão: (1,0). Considere a função
f(x, y)=x y^2-y^2(x-1)^2+y^2
definida em D F=R^2 backslash(1,0).
Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,0) na direção do vetor (2,0).

Passo 1

Temos a função f definida por
f(x,y)=x,y^2 - y^2(x-1)^2+y^2
o domínio D_F = ℝ²{(1,0)} e queremos a derivada direcional no ponto (1,0) na direção do vetor (2,0). O conteúdo aqui é derivada direcional e vamos usar a definição via quociente incremental e vetor unitário.

Passo 2

Para usar a definição de derivada direcional, precisamos de um vetor unitário. A direção é dada por (2,0) cuja norma é | (2,0)| = 2. Logo o vetor unitário é
u = 12(2,0) = (1,0)

Passo 3

Estudamos o valor de f ao longo da reta y=0 perto de x=1. Para h≠0,
f(1+h,0)=(1+h)cdot0^2 - 0^2(1+h-1)^2+0^2 = 0
Isso mostra que f(1+h,0)=0 para todo h pequeno.

Passo 4

Aplicamos a definição de derivada direcional em (1,0) na direção de u:
Duf(1,0) = limhto0 fl((1,0)+hur) - f(1,0)h = limhto0f(1+h,0) - 0h = limhto00h =0

Resposta

0

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