Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
quando for o caso.
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anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica da separação de variáveis. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Vamos precisar entender como separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar ambos os lados e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar $ y $ e $ y’ $. A equação dada é:
Podemos dividir ambos os lados por $ (1 + e^{x}) y $ para isolar $ y’ $:
Passo 3
Agora, vamos escrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $ e reorganizar a equação para separar as variáveis:
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e por $ dx $, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, integramos em relação a $ y $, e do lado direito, em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é direta:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição simples:
Seja $ u = 1 + e^{x} $, então $ du = e^{x} dx $.
Substituindo na integral:
Passo 6
Substituindo a integral resolvida de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C’ $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Resolvendo para $ C’ $:
Passo 8
Agora, substituímos $ C’ $ de volta na equação geral:
Podemos simplificar um pouco:
Usando as propriedades dos logaritmos:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: