Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere log (|y|) quando for o caso.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica da separação de variáveis. O enunciado nos dá a seguinte equação:
(1 + e^x) y , y^prime = e^x com y(0) = 1
Vamos precisar entender como separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar ambos os lados e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar $ y $ e $ y’ $. A equação dada é:
y
Podemos dividir ambos os lados por $ (1 + e^{x}) y $ para isolar $ y’ $:
y'

Passo 3

Agora, vamos escrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $ e reorganizar a equação para separar as variáveis:
y'
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e por $ dx $, temos:
dydx

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, integramos em relação a $ y $, e do lado direito, em relação a $ x $:
y
A integral do lado esquerdo é direta:
x

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição simples:
Seja $ u = 1 + e^{x} $, então $ du = e^{x} dx $.
Substituindo na integral:
u = 1 + e^x

Passo 6

Substituindo a integral resolvida de volta na equação:
y^22 = ln|1 + e^x| + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
y^2 = 2 ln|1 + e^x| + C'
Onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C’ $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
y(0) = 1
Resolvendo para $ C’ $:
C'

Passo 8

Agora, substituímos $ C’ $ de volta na equação geral:
C'
Podemos simplificar um pouco:
y^2 = 2 ln|1 + e^x| + 1 - 2 ln(2)
Usando as propriedades dos logaritmos:
y^2 = 2 ( ln|1 + e^x| - ln(2) ) + 1
Então:
ln|1 + e^x| - ln(2) = ln(1 + e^x2)

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = raiz2 ln(1 + e^x2) + 1

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