Teste a convergência ou divergência da série
sumn=1^infty n(-7)^ne^3 n+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty n(-7)^ne^3n+1
O conteúdo envolvido é séries numéricas e vamos precisar aplicar o teste da razão para séries com fator n e termo exponencial.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral de
an = n(-7)^ne^3n+1 = e^-1 ;nl(-7e^-3r)^n
Calculamos a razão
|an+1an| = n+1n ;l|-7e^-3r| = n+1n7e^3

Passo 3

Agora fazemos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|an+1an| = limntoinftyn+1n7e^3 = 1cdot7e^3 = 7e^3
Como e^3approx20,085, temos 7/e^3approx0,348<1.

Passo 4

Como o limite da razão absoluta é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Resposta

A série converge absolutamente (e portanto converge), pois pelo teste da razão obtemos lim|an+1/an|=7/e^3<1

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