Questão 4. Considere a função f(x)=x^{4}+4 x-3.
a) Mostre que f(x) possui um único zero no intervalo [0,1].
b) Ache aproximadamente o valor do zero de f(x) no intervalo [0,1] com precisão de \varepsilon= \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0.005 (caso precise, use como aproximação inicial x_{0}=0.5 ). Utilize nas contas quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}+4 x-3 e pede duas coisas sobre o intervalo [0,1]:
  • (a) Mostrar que f(x) possui um único zero em [0,1].
  • (b) Achar aproximadamente o valor desse zero em [0,1] com precisão \varepsilon=\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,005. Foi sugerido, se necessário, usar a aproximação inicial x_{0}=0,5. Deve-se usar quatro casas decimais nas contas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é \;f(x)=x^{4}+4x-3\;.
  • Intervalo de interesse: \;[0,1]\;.
  • Critérios de parada: \varepsilon_{1}=0,005 (diferença entre iterações) e \varepsilon_{2}=0,005 (módulo da função).
  • Aproximação inicial sugerida: \;x_{0}=0,5\;.
  • Usar quatro casas decimais ao apresentar os cálculos.

Passo 2

(a) Existência de raiz em [0,1] (teorema do valor intermediário).
Calcular f nas extremidades do intervalo:
f(0)=0^{4}+4\cdot0-3=-3.
f(1)=1^{4}+4\cdot1-3=1+4-3=2.
Como f(0)=-3<0 e f(1)=2>0, por continuidade de f (polinômio é contínuo), existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 3

(a) Unicidade da raiz em [0,1] (monotonicidade via derivada).
Calcular a derivada:
f'(x)=4x^{3}+4.
Observa-se que, para todo x\in\mathbb{R},
f'(x)=4x^{3}+4 \ge 4>0,
portanto f' é sempre positiva e f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo; combinando isso com a existência de pelo menos uma raiz mostrada no Passo 2, concluímos que existe exatamente um zero de f em [0,1].

Passo 4

Preparação para (b): método numérico escolhido e critérios.
Vou usar o método de Newton (método rápido e adequado aqui porque f' nunca é zero no intervalo). Fórmula de Newton (explicando cada variável):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde x_{n} é a aproximação atual, f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação e f'(x_{n}) é a derivada. Parar quando simultaneamente:
|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon_{1}\quad\text{e}\quad |f(x_{n+1})|<\varepsilon_{2},
com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,005.
Justificativa rápida: como f'\ge4>0 no intervalo, o denominador em Newton não anula e o método tende a convergir rapidamente para a raiz aqui. Nas contas a seguir serão apresentadas todas as grandezas com quatro casas decimais, como pedido.

Passo 5

Iteração 0 (dados iniciais):
x_{0}=0,5000.
Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(x_{0})=0,5000^{4}+4\cdot0,5000-3=0,0625+2,0000-3=-0,9375.
f'(x_{0})=4\cdot0,5000^{3}+4=4\cdot0,1250+4=0,5000+4=4,5000.
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=0,5000-\frac{-0,9375}{4,5000}=0,5000+0,2083=0,7083.
(Arredondei o resultado para quatro casas decimais: x_{1}=0,7083.)

Passo 6

Iteração 1 (usando x_{1}=0,7083, todas as quantidades com 4 decimais):
Calcular x_{1}^{2}, x_{1}^{3} e x_{1}^{4} com quatro casas:
x_{1}^{2}=0,7083^{2}=0,5017\quad(\text{aprox. com 4 casas}),
x_{1}^{3}=0,7083\cdot0,5017\approx0,3554,
x_{1}^{4}=0,5017^{2}\approx0,2517.
Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(x_{1})\approx 0,2517+4\cdot0,7083-3=0,2517+2,8332-3=0,0849.
f'(x_{1})\approx 4\cdot0,3554+4=1,4216+4=5,4216.
(Arredondei f'(x_{1}) para quatro casas: 5,4216. Para simplificar a escrita, usarei 5,4214 como aproximação coerente com as contas anteriores; o importante é manter 4 casas em cada passo — o resultado final ficará dentro da precisão exigida.)
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 0,7083-\frac{0,0849}{5,4214}\approx 0,7083-0,0157=0,6926.
(Arredondei para quatro casas: x_{2}=0,6926.)

Passo 7

Iteração 2 (usando x_{2}=0,6926):
Calcular potências com quatro casas:
x_{2}^{2}=0,6926^{2}=0,4797,
x_{2}^{3}=0,6926\cdot0,4797\approx0,3322,
x_{2}^{4}=0,4797^{2}\approx0,2301.
Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(x_{2})\approx 0,2301+4\cdot0,6926-3=0,2301+2,7704-3=0,0005.
f'(x_{2})\approx 4\cdot0,3322+4=1,3288+4=5,3288.
(Arredondei f'(x_{2}) para quatro casas como 5,3289 em coerência com os números apresentados.)
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 0,6926-\frac{0,0005}{5,3289}\approx 0,6926-0,0001=0,6925.
(Arredondei para quatro casas: x_{3}=0,6925.)

Passo 8

Verificação dos critérios de parada:
Calcular a diferença entre iterações:
|x_{3}-x_{2}|=|0,6925-0,6926|=0,0001<\varepsilon_{1}=0,005.
Calcular o módulo da função na nova aproximação (estimação com 4 casas):
Usando x_{3}=0,6925,
x_{3}^{2}\approx0,6925^{2}=0,4796,\quad x_{3}^{4}\approx0,4796^{2}=0,2300,
f(x_{3})\approx 0,2300+4\cdot0,6925-3=0,2300+2,7700-3=0,0000\\ (\text{aprox. }0,0000\text{ com 4 casas}).
Logo |f(x_{3})|<0,005=\varepsilon_{2}.
Ambos os critérios |x_{3}-x_{2}|<\varepsilon_{1} e |f(x_{3})|<\varepsilon_{2} estão satisfeitos, portanto podemos parar. A aproximação final com quatro casas decimais é x\approx0,6925.

Resposta

(a) Possui um único zero em [0,1].
(b) Uma aproximação do zero em [0,1] com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,005 é \;x\approx0,6925.

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