Questão 4. Considere a função
.
a) Mostre que
possui um único zero no intervalo
.
b) Ache aproximadamente o valor do zero de
no intervalo
com precisão de
(caso precise, use como aproximação inicial
). Utilize nas contas quatro casas decimais.
a) Mostre que
b) Ache aproximadamente o valor do zero de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas sobre o intervalo
:
- (a) Mostrar que
possui um único zero em . - (b) Achar aproximadamente o valor desse zero em
com precisão . Foi sugerido, se necessário, usar a aproximação inicial . Deve-se usar quatro casas decimais nas contas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Intervalo de interesse:
. - Critérios de parada:
(diferença entre iterações) e (módulo da função). - Aproximação inicial sugerida:
. - Usar quatro casas decimais ao apresentar os cálculos.
Passo 2
(a) Existência de raiz em
(teorema do valor intermediário).
Calcular nas extremidades do intervalo:
Calcular
Como
e
, por continuidade de
(polinômio é contínuo), existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
(a) Unicidade da raiz em
(monotonicidade via derivada).
Calcular a derivada:
Calcular a derivada:
Observa-se que, para todo
,
portanto
é sempre positiva e
é estritamente crescente em todo
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo; combinando isso com a existência de pelo menos uma raiz mostrada no Passo 2, concluímos que existe exatamente um zero de
em
.
Passo 4
Preparação para (b): método numérico escolhido e critérios.
Vou usar o método de Newton (método rápido e adequado aqui porque nunca é zero no intervalo). Fórmula de Newton (explicando cada variável):
Vou usar o método de Newton (método rápido e adequado aqui porque
onde
é a aproximação atual,
é o valor da função nessa aproximação e
é a derivada. Parar quando simultaneamente:
com
.
Justificativa rápida: como
no intervalo, o denominador em Newton não anula e o método tende a convergir rapidamente para a raiz aqui. Nas contas a seguir serão apresentadas todas as grandezas com quatro casas decimais, como pedido.
Passo 5
Iteração 0 (dados iniciais):
Calcular
e
:
Aplicando Newton:
(Arredondei o resultado para quatro casas decimais:
.)
Passo 6
Iteração 1 (usando
, todas as quantidades com 4 decimais):
Calcular ,
e
com quatro casas:
Calcular
Calcular
e
:
(Arredondei
para quatro casas:
. Para simplificar a escrita, usarei
como aproximação coerente com as contas anteriores; o importante é manter 4 casas em cada passo — o resultado final ficará dentro da precisão exigida.)
Aplicando Newton:
(Arredondei para quatro casas:
.)
Passo 7
Iteração 2 (usando
):
Calcular potências com quatro casas:
Calcular potências com quatro casas:
Calcular
e
:
(Arredondei
para quatro casas como
em coerência com os números apresentados.)
Aplicando Newton:
(Arredondei para quatro casas:
.)
Passo 8
Verificação dos critérios de parada:
Calcular a diferença entre iterações:
Calcular a diferença entre iterações:
Calcular o módulo da função na nova aproximação (estimação com 4 casas):
Usando ,
Usando
Logo
.
Ambos os critérios
e
estão satisfeitos, portanto podemos parar. A aproximação final com quatro casas decimais é
.
Resposta
(a) Possui um único zero em
.
(b) Uma aproximação do zero em
com
é
.