Questão 5. Encontre o valor aproximado de \sqrt{3} utilizando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado\n
  • Pede-se: encontrar um valor aproximado de \sqrt{3} usando o método de Newton, com precisão de 4 casas decimais.\n
  • Informação dada: o número a aproximar é 3. Não há outra restrição (podemos escolher um palpite inicial qualquer razoável).\n
  • Objetivo prático: obter um número que, ao ser arredondado com 4 casas decimais, represente corretamente \sqrt{3}. Isto é, queremos um x tal que, ao arredondar para 4 casas decimais, dá o valor correto.

Passo 2

O método de Newton — ideia e fórmula que vamos usar\n
  • Ideia rápida: para achar a raiz de uma função f(x) (ou seja, resolver f(x)=0), o método de Newton constrói uma sequência \{x_n\} que tende à raiz, usando tangentes.\n
  • Fórmula geral: a iteração de Newton é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f e x_n é a aproximação atual.\n
  • Como aplicar ao nosso caso: para \sqrt{3} queremos a raiz positiva da função
f(x) = x^2 - 3.
Então f'(x) = 2x. Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 3}{2x_n} = \frac{x_n + \dfrac{3}{x_n}}{2}.
  • Significado das variáveis: x_n é a aproximação atual para \sqrt{3}; x_{n+1} é a próxima aproximação; a fórmula acima dá x_{n+1} em termos de x_n.\n
  • Por que essa forma é conveniente: é simples de calcular (soma, divisão e divisão por 2) e tem convergência muito rápida (quadrática) quando x_n está perto da raiz.\n
  • Critério de parada prático para “4 casas decimais”: vamos exigir que duas aproximações consecutivas tenham o mesmo valor quando arredondadas para 4 casas decimais. Isso garante que o valor arredondado a 4 casas decimais já está estável.

Passo 3

Escolha do palpite inicial e primeira iteração\n
  • Escolha simples do palpite inicial: x_0 = 2. É fácil de lembrar e razoavelmente perto de \sqrt{3}.\n
  • Aplicando a fórmula:
x_1 = \frac{x_0 + \dfrac{3}{x_0}}{2} = \frac{2 + \dfrac{3}{2}}{2} = \frac{2 + 1,5}{2} = \frac{3,5}{2} = \frac{7}{4}.
  • Valor decimal:
x_1 = \frac{7}{4} = 1{,}75.

Passo 4

Segunda iteração (cálculo passo a passo)\n
  • Usando x_1 = \dfrac{7}{4},
x_2 = \frac{x_1 + \dfrac{3}{x_1}}{2} = \frac{\dfrac{7}{4} + \dfrac{3}{7/4}}{2}.
  • Calcule \dfrac{3}{7/4} = \dfrac{3}{1{,}75} = \dfrac{3}{7/4} = \dfrac{3\cdot4}{7} = \dfrac{12}{7}. Então
x_2 = \frac{\dfrac{7}{4} + \dfrac{12}{7}}{2}.
  • Pôr em denominador comum: \dfrac{7}{4} = \dfrac{49}{28} e \dfrac{12}{7} = \dfrac{48}{28}. Assim
x_2 = \frac{\dfrac{49}{28} + \dfrac{48}{28}}{2} = \frac{\dfrac{97}{28}}{2} = \frac{97}{56}.
  • Valor decimal:
x_2 = \frac{97}{56} \approx 1{,}7321428571428572.
  • Arredondando para 4 casas decimais: x_2 \approx 1{,}7321.

Passo 5

Terceira iteração (cálculo passo a passo com frações exatas)\n
  • Usando x_2 = \dfrac{97}{56},
\frac{3}{x_2} = \frac{3}{97/56} = \frac{3\cdot56}{97} = \frac{168}{97}.
  • Então
x_3 = \frac{\dfrac{97}{56} + \dfrac{168}{97}}{2}.
  • Colocando em denominador comum: denominador comum é 56\cdot97 = 5432. O numerador fica 97^2 + 168\cdot56 = 9409 + 9408 = 18817. Assim
x_3 = \frac{18817}{5432}\cdot\frac{1}{2} = \frac{18817}{10864}.
  • Valor decimal:
x_3 = \frac{18817}{10864} \approx 1{,}7320508075688772.
  • Arredondando para 4 casas decimais: x_3 \approx 1{,}7321.

Passo 6

Verificação do critério de parada e conclusão prática\n
  • Arredondamentos das duas últimas aproximações:
    • x_2 \approx 1{,}7321 (4 casas decimais),
    • x_3 \approx 1{,}7321 (4 casas decimais).\n
  • Como duas aproximações consecutivas arredondadas a 4 casas decimais coincidem, o valor arredondado a 4 casas decimais já está estável.\n
  • Comentário sobre a precisão real: a aproximação x_3 já é muito precisa (o erro real é da ordem de 10^{-9}), então o arredondamento a 4 casas decimais é confiável.\n
  • Incentivo: viu só? O método converge rápido — em só 3 iterações (a partir de x_0=2) já temos 4 casas decimais corretas. Relaxa, você vai conseguir na prova!

Resposta

\,1,7321\,

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