Questão 5. Encontre o valor aproximado de
utilizando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado\n
- Pede-se: encontrar um valor aproximado de
usando o método de Newton, com precisão de 4 casas decimais.\n - Informação dada: o número a aproximar é
. Não há outra restrição (podemos escolher um palpite inicial qualquer razoável).\n - Objetivo prático: obter um número que, ao ser arredondado com 4 casas decimais, represente corretamente
. Isto é, queremos um tal que, ao arredondar para 4 casas decimais, dá o valor correto.
Passo 2
O método de Newton — ideia e fórmula que vamos usar\n
- Ideia rápida: para achar a raiz de uma função
(ou seja, resolver ), o método de Newton constrói uma sequência que tende à raiz, usando tangentes.\n - Fórmula geral: a iteração de Newton é
Aqui
é a derivada de
e
é a aproximação atual.\n
- Como aplicar ao nosso caso: para
queremos a raiz positiva da função
Então
. Substituindo na fórmula de Newton:
- Significado das variáveis:
é a aproximação atual para ; é a próxima aproximação; a fórmula acima dá em termos de .\n - Por que essa forma é conveniente: é simples de calcular (soma, divisão e divisão por 2) e tem convergência muito rápida (quadrática) quando
está perto da raiz.\n - Critério de parada prático para “4 casas decimais”: vamos exigir que duas aproximações consecutivas tenham o mesmo valor quando arredondadas para 4 casas decimais. Isso garante que o valor arredondado a 4 casas decimais já está estável.
Passo 3
Escolha do palpite inicial e primeira iteração\n
- Escolha simples do palpite inicial:
. É fácil de lembrar e razoavelmente perto de .\n - Aplicando a fórmula:
- Valor decimal:
Passo 4
Segunda iteração (cálculo passo a passo)\n
- Usando
,
- Calcule
Então
- Pôr em denominador comum:
e . Assim
- Valor decimal:
- Arredondando para 4 casas decimais:
.
Passo 5
Terceira iteração (cálculo passo a passo com frações exatas)\n
- Usando
,
- Então
- Colocando em denominador comum: denominador comum é
. O numerador fica . Assim
- Valor decimal:
- Arredondando para 4 casas decimais:
.
Passo 6
Verificação do critério de parada e conclusão prática\n
- Arredondamentos das duas últimas aproximações:
-
(4 casas decimais), -
(4 casas decimais).\n
-
- Como duas aproximações consecutivas arredondadas a 4 casas decimais coincidem, o valor arredondado a 4 casas decimais já está estável.\n
- Comentário sobre a precisão real: a aproximação
já é muito precisa (o erro real é da ordem de ), então o arredondamento a 4 casas decimais é confiável.\n - Incentivo: viu só? O método converge rápido — em só 3 iterações (a partir de
) já temos 4 casas decimais corretas. Relaxa, você vai conseguir na prova!