Questão 2 (
/3,0)
Considere a função
. Faça o que se pede:
a) Exiba as fórmulas de iteração dos métodos da falsa posição, método de Newton-Raphson e da Secante;
b) Realize três iterações dos métodos acima citados, considerando o intervalo [6,7] e compare os resultados.
Considere a função
a) Exiba as fórmulas de iteração dos métodos da falsa posição, método de Newton-Raphson e da Secante;
b) Realize três iterações dos métodos acima citados, considerando o intervalo [6,7] e compare os resultados.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede duas coisas:
- Função dada:
. - O intervalo fornecido é
.
O que preciso entregar:
- As fórmulas de iteração para (i) método da falsa posição (regula falsi), (ii) método de Newton–Raphson, (iii) método da secante.
- Executar três iterações de cada um desses métodos usando o intervalo
e comparar os resultados numéricos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Puntos iniciais para métodos que exigem um intervalo:
e . - Vamos assumir que ângulos estão em radianos (padrão em funções trigonométricas em análise numérica).
- Para Newton–Raphson vou escolher como chute inicial o ponto médio
(opção natural quando só se dá intervalo). - Para a secante usarei as duas aproximações iniciais
e (padrão do método).
Passo 2
Fórmulas de iteração (a pedido):
- Falsa posição (regula falsi). Se os pontos da iteração corrente são
e com e de sinais opostos, a aproximação por interpolação linear é
Este
é o novo ponto gerado pela intersecção da reta que passa por
e
. Após calcular
substitui-se o extremo cujo valor da função tem o mesmo sinal que
.
- Newton–Raphson. Dada uma aproximação
, a próxima é
Aqui
é a derivada de
. Para a nossa função
A ideia: aproximar
por sua reta tangente em
e tomar a interseção com o eixo
.
- Secante. Usa duas aproximações anteriores
e e faz interpolação linear entre e . A fórmula é
É como o Newton, mas substitui
pela razão incremental
.
Explicação simples do que cada símbolo significa:
-
são extremos do intervalo em métodos de bissecção/regula falsi. -
são aproximações sucessivas da raiz. -
é a função dada; é sua derivada. - As fórmulas acima produzem novos pontos a partir dos anteriores; depois verifica-se o sinal de
para atualizar intervalos (quando aplicável).
Passo 3
Preparação numérica inicial: calculei (pegando
e
do enunciado)
Note que
e
, logo há uma raiz em
.
Agora aplico o método da falsa posição por três iterações. Em cada passo escrevo a fórmula e os cálculos aproximados (valores arredondados para 6 casas decimais quando mostrado).
Iteração 1 (usando
,
):
Avalio
:
Como
e
têm o mesmo sinal (ambos negativos), substituo
. Novo intervalo:
.
Iteração 2 (usando
,
):
Avalio
:
Agora
tem sinal oposto a
, então substituo
. Novo intervalo:
.
Iteração 3 (usando
,
):
Avalio
:
Resultado após 3 iterações (falsa posição):
.
Comentários rápidos sobre a falsa posição: ela preserva o enclose (o sinal oposto) e tende a convergir bem quando a raiz está bem entre os extremos; aqui vimos que das três iterações já estamos muito próximos da raiz real.
Passo 4
Agora o método de Newton–Raphson. Escolhi
(ponto médio do intervalo) como chute inicial.
Lembrete:
.
Iteração 1 (a partir de
):
Calculei e
.
Aplicando a fórmula
Calculei
Aplicando a fórmula
Iteração 2 (a partir de
):
Calculei e
.
Calculei
Iteração 3 (a partir de
):
Calculei (muito pequeno) e
.
Calculei
Resultado após 3 iterações (Newton–Raphson):
.
Observação pedagogicamente importante: Newton costuma convergir muito rápido quando o chute inicial está razoável e a derivada não é pequena; aqui em apenas 2–3 iterações já estamos com erro na casa de
ou menor.
Passo 5
Agora a secante. Inicializo com
e
. Aplico a fórmula da secante três vezes (ou seja, obtenho
).
Iteração 1 da secante (gera
):
Usando
e
já calculados:
(Observação: este
coincide numericamente com a primeira aproximação da falsa posição — é natural, pois ambos usam a interpolação linear entre
e
.)
Iteração 2 da secante (usando
e
):
Iteração 3 da secante (usando
e
):
Resultado após 3 iterações (secante, tomando como referência
):
.
Passo 6
Comparação e interpretação final (resumo e incentivo):
- Todas as três técnicas convergem para a mesma raiz aproximada na vizinhança de
. - Newton–Raphson: muito rápido aqui — em 2 iterações já estávamos com erro ~
; após 3 iterações a aproximação praticamente estabilizou em . - Secante: também rápido, convergiu em 3 iterações para
(diferença das ordens de em relação a Newton). - Falsa posição: mais conservador no início (preserva o intervalo), mas após 3 iterações já dá
— igualmente muito próximo.
Conclusão prática para a prova: se precisar de convergência muito rápida e puder avaliar derivada, use Newton com um chute razoável (aqui escolhemos o ponto médio). Se não puder calcular derivada, a secante dá praticamente a mesma resposta em poucas iterações. A falsa posição é segura (mantém o enclose) e também converge bem nesse problema.
Força aí — já está praticamente resolvido: a raiz real está em torno de
.
Resposta
Falsa posição (após 3 iterações):
Newton–Raphson (após 3 iterações, com ):
Secante (após 3 iterações, com ):
Newton–Raphson (após 3 iterações, com
Secante (após 3 iterações, com