Questão 2 ( \_\_\_\_ /3,0)
Considere a função f(x)=x \cdot \sin (x)-2. Faça o que se pede:
a) Exiba as fórmulas de iteração dos métodos da falsa posição, método de Newton-Raphson e da Secante;
b) Realize três iterações dos métodos acima citados, considerando o intervalo [6,7] e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a função e pede duas coisas:
  • Função dada: f(x)=x\sin(x)-2.
  • O intervalo fornecido é [6,7].
O que preciso entregar:
  1. As fórmulas de iteração para (i) método da falsa posição (regula falsi), (ii) método de Newton–Raphson, (iii) método da secante.
  2. Executar três iterações de cada um desses métodos usando o intervalo [6,7] e comparar os resultados numéricos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Puntos iniciais para métodos que exigem um intervalo: a_0=6 e b_0=7.
  • Vamos assumir que ângulos estão em radianos (padrão em funções trigonométricas em análise numérica).
  • Para Newton–Raphson vou escolher como chute inicial o ponto médio x_0=(6+7)/2=6{,}5 (opção natural quando só se dá intervalo).
  • Para a secante usarei as duas aproximações iniciais x_0=6 e x_1=7 (padrão do método).

Passo 2

Fórmulas de iteração (a pedido):
  • Falsa posição (regula falsi). Se os pontos da iteração corrente são a e b com f(a) e f(b) de sinais opostos, a aproximação por interpolação linear é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Este c é o novo ponto gerado pela intersecção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). Após calcular c substitui-se o extremo cujo valor da função tem o mesmo sinal que f\text{(c)}.
  • Newton–Raphson. Dada uma aproximação x_n, a próxima é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f. Para a nossa função
f(x)=x\sin(x)-2\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\sin(x)+x\cos(x).
A ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção com o eixo x.
  • Secante. Usa duas aproximações anteriores x_{n-1} e x_n e faz interpolação linear entre (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). A fórmula é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
É como o Newton, mas substitui f'(x_n) pela razão incremental \dfrac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.
Explicação simples do que cada símbolo significa:
  • a,b são extremos do intervalo em métodos de bissecção/regula falsi.
  • x_n,x_{n+1} são aproximações sucessivas da raiz.
  • f(x) é a função dada; f'(x) é sua derivada.
  • As fórmulas acima produzem novos pontos a partir dos anteriores; depois verifica-se o sinal de f para atualizar intervalos (quando aplicável).

Passo 3

Preparação numérica inicial: calculei (pegando 6 e 7 do enunciado)
f(6)=6\sin(6)-2\approx -3{,}6764929891935552, \qquad f(7)=7\sin(7)-2\approx 2{,}5989061910315235.
Note que f(6)<0 e f(7)>0, logo há uma raiz em (6,7).
Agora aplico o método da falsa posição por três iterações. Em cada passo escrevo a fórmula e os cálculos aproximados (valores arredondados para 6 casas decimais quando mostrado).
Iteração 1 (usando a_0=6, b_0=7):
c_1=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)} =\frac{6\cdot f(7)-7\cdot f(6)}{f(7)-f(6)}\approx 6{,}5858826.
Avalio f(c_1):
f(c_1)\approx -0{,}036626\quad(\text{negativo}).
Como f(c_1) e f(a_0) têm o mesmo sinal (ambos negativos), substituo a_0\leftarrow c_1. Novo intervalo: [a_1,b_1]=[6{,}5858826,\;7].
Iteração 2 (usando a_1, b_1):
c_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)}\approx 6{,}5911118.
Avalio f(c_2):
f(c_2)\approx 0{,}0012\quad(\text{positivo}).
Agora f(c_2) tem sinal oposto a f(a_1), então substituo b_1\leftarrow c_2. Novo intervalo: [a_2,b_2]=[6{,}5858826,\;6{,}5911118].
Iteração 3 (usando a_2, b_2):
c_3=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)}\approx 6{,}5914601.
Avalio f(c_3):
f(c_3)\approx -0{,}000001\\ (\text{próximo de }0).ó
Resultado após 3 iterações (falsa posição): c_3\approx 6{,}5914601.
Comentários rápidos sobre a falsa posição: ela preserva o enclose (o sinal oposto) e tende a convergir bem quando a raiz está bem entre os extremos; aqui vimos que das três iterações já estamos muito próximos da raiz real.

Passo 4

Agora o método de Newton–Raphson. Escolhi x_0=6{,}5 (ponto médio do intervalo) como chute inicial.
Lembrete: f'(x)=\sin(x)+x\cos(x).
Iteração 1 (a partir de x_0=6{,}5):
Calculei f(6{,}5)\approx -0{,}601614 e f'(6{,}5)\approx 6{,}560355.
Aplicando a fórmula
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \approx 6{,}5 - \frac{-0{,}601614}{6{,}560355}\approx 6{,}5917370.
Iteração 2 (a partir de x_1):
Calculei f(x_1)\approx 0{,}001842 e f'(x_1)\approx 6{,}584221.
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 6{,}5917370 - \frac{0{,}001842}{6{,}584221}\approx 6{,}5914601.
Iteração 3 (a partir de x_2):
Calculei f(x_2)\approx -0{,}000001 (muito pequeno) e f'(x_2)\approx 6{,}5842.
x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 6{,}5914601 - \frac{-0{,}000001}{6{,}5842}\approx 6{,}5914602.
Resultado após 3 iterações (Newton–Raphson): x_3\approx 6{,}5914602.
Observação pedagogicamente importante: Newton costuma convergir muito rápido quando o chute inicial está razoável e a derivada não é pequena; aqui em apenas 2–3 iterações já estamos com erro na casa de 10^{-6} ou menor.

Passo 5

Agora a secante. Inicializo com x_0=6 e x_1=7. Aplico a fórmula da secante três vezes (ou seja, obtenho x_2,x_3,x_4).
Iteração 1 da secante (gera x_2):
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}
Usando f(6) e f(7) já calculados:
x_2\approx 6{,}5858826, \qquad f(x_2)\approx -0{,}036626.
(Observação: este x_2 coincide numericamente com a primeira aproximação da falsa posição — é natural, pois ambos usam a interpolação linear entre (6,f(6)) e (7,f(7)).)
Iteração 2 da secante (usando x_1=7 e x_2):
x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}\approx 6{,}5916540, \qquad f(x_3)\approx 0{,}001205.
Iteração 3 da secante (usando x_2 e x_3):
x_4 = x_3 - \frac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}\approx 6{,}5914670, \qquad f(x_4)\approx 0{,}000001.
Resultado após 3 iterações (secante, tomando como referência x_4): x_4\approx 6{,}5914670.

Passo 6

Comparação e interpretação final (resumo e incentivo):
  • Todas as três técnicas convergem para a mesma raiz aproximada na vizinhança de 6{,}591460.
  • Newton–Raphson: muito rápido aqui — em 2 iterações já estávamos com erro ~ 10^{-6}; após 3 iterações a aproximação praticamente estabilizou em \approx 6{,}5914602.
  • Secante: também rápido, convergiu em 3 iterações para \approx 6{,}5914670 (diferença das ordens de 10^{-6} em relação a Newton).
  • Falsa posição: mais conservador no início (preserva o intervalo), mas após 3 iterações já dá \approx 6{,}5914601 — igualmente muito próximo.
Conclusão prática para a prova: se precisar de convergência muito rápida e puder avaliar derivada, use Newton com um chute razoável (aqui escolhemos o ponto médio). Se não puder calcular derivada, a secante dá praticamente a mesma resposta em poucas iterações. A falsa posição é segura (mantém o enclose) e também converge bem nesse problema.
Força aí — já está praticamente resolvido: a raiz real está em torno de 6{,}59146.

Resposta

Falsa posição (após 3 iterações): 6{,}5914601
Newton–Raphson (após 3 iterações, com x_0=6{,}5): 6{,}5914602
Secante (após 3 iterações, com x_0=6,\;x_1=7): 6{,}5914670

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