Questão: Suponha que se queira construir uma tabela para a função y=\ln (x) no intervalo [1,2] de tal ma neira que, ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear forneça resultados com seis casas decimais corr tas, ou seja, erro menor que 10^{-7}. Determine o passo h dessa tabela.
Passo 1
O enunciado dá a função \,y=\ln(x)\, no intervalo [1,2] e pede o passo h de uma tabela (passo entre nós equiespaçados) tal que a interpolação linear usando essa tabela produza erro absoluto menor que 10^{-7} em todo o intervalo.
Informações relevantes listadas:
Função: \,f(x)=\ln(x)\,.
Intervalo: [1,2].
Condição sobre o erro da interpolação linear: erro < 10^{-7}.
Quer-se determinar o passo h entre nós (isto é, o comprimento de cada subintervalo).
Passo 2
Apresentar a fórmula de erro da interpolação linear e entender o que cada termo significa.
Se f é duas vezes diferenciável, a diferença entre f(x) e a interpolação linear entre dois nós x_0 e x_1=x_0+h em um ponto x\in[x_0,x_1] satisfaz
f(x)-\ell(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_0)(x-x_1)
para algum \xi entre x_0 e x_1. Aqui:
f''(\xi) é a segunda derivada avaliada em algum ponto \xi do subintervalo;
(x-x_0)(x-x_1) é o termo que depende de onde, dentro do subintervalo, avaliamos o erro;
\ell(x) é o polinômio linear de interpolação entre x_0 e x_1.
Para obter uma cota uniforme do erro no subintervalo, tomamos o máximo absoluto desse produto no subintervalo. O produto (x-x_0)(x-x_1) atinge, em valor absoluto, seu máximo em x igual ao ponto médio x_0+\tfrac{h}{2}, onde
\big|(x-x_0)(x-x_1)\big|_{\max}=\frac{h^2}{4}.
Assim, se M_2=\max_{x\in[x_0,x_1]}|f''(x)|, uma cota simples para o erro no subintervalo é
Interpretação prática: qualquer h menor ou igual a \sqrt{8\cdot10^{-7}} garante erro menor que 10^{-7} em cada subintervalo e, portanto, em todo [1,2]. Se a tabela precisa dividir exatamente o intervalo [1,2] em N subintervalos iguais, então h=1/N. Para garantir h\le 0{,}00089442719 precisamos de
N\ge \frac{1}{0{,}00089442719}\approx 1118{,}034.
Assim o menor número inteiro de subintervalos que funciona é N=1119, que dá
h=\frac{1}{1119}\approx 0{,}000893983,
o que satisfaz h\le \sqrt{8\cdot10^{-7}}.
Passo 6
Resumo final e dica prática: a cota teórica dá o valor máximo permitido para o passo; na prática, ao construir a tabela é conveniente escolher N inteiro e tomar h=1/N com N pelo menos 1119 para garantir as seis casas decimais corretas (erro menor que 10^{-7}).
Resposta
h \le \sqrt{8\cdot 10^{-7}}\approx 0{,}00089442719
Escolhendo nós com N subintervalos, o menor N inteiro que garante o erro é N=1119, portanto pode-se tomar h=\dfrac{1}{1119}\approx 0{,}000893983.