Questão: Suponha que se queira construir uma tabela para a função y=\ln (x) no intervalo [1,2] de tal ma neira que, ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear forneça resultados com seis casas decimais corr tas, ou seja, erro menor que 10^{-7}. Determine o passo h dessa tabela.

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=\ln(x)\, no intervalo [1,2] e pede o passo h de uma tabela (passo entre nós equiespaçados) tal que a interpolação linear usando essa tabela produza erro absoluto menor que 10^{-7} em todo o intervalo.
Informações relevantes listadas:
  • Função: \,f(x)=\ln(x)\,.
  • Intervalo: [1,2].
  • Condição sobre o erro da interpolação linear: erro < 10^{-7}.
  • Quer-se determinar o passo h entre nós (isto é, o comprimento de cada subintervalo).

Passo 2

Apresentar a fórmula de erro da interpolação linear e entender o que cada termo significa.
Se f é duas vezes diferenciável, a diferença entre f(x) e a interpolação linear entre dois nós x_0 e x_1=x_0+h em um ponto x\in[x_0,x_1] satisfaz
f(x)-\ell(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_0)(x-x_1)
para algum \xi entre x_0 e x_1. Aqui:
  • f''(\xi) é a segunda derivada avaliada em algum ponto \xi do subintervalo;
  • (x-x_0)(x-x_1) é o termo que depende de onde, dentro do subintervalo, avaliamos o erro;
  • \ell(x) é o polinômio linear de interpolação entre x_0 e x_1.
Para obter uma cota uniforme do erro no subintervalo, tomamos o máximo absoluto desse produto no subintervalo. O produto (x-x_0)(x-x_1) atinge, em valor absoluto, seu máximo em x igual ao ponto médio x_0+\tfrac{h}{2}, onde
\big|(x-x_0)(x-x_1)\big|_{\max}=\frac{h^2}{4}.
Assim, se M_2=\max_{x\in[x_0,x_1]}|f''(x)|, uma cota simples para o erro no subintervalo é
\max_{x\in[x_0,x_1]}|f(x)-\ell(x)|\le \frac{M_2}{2}\cdot\frac{h^2}{4}=\frac{M_2\,h^2}{8}.
Essa é a fórmula prática que vamos usar: erro máximo numa subintervalo \le \dfrac{M_2 h^2}{8}.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso f(x)=\ln(x). Primeiro calcule as derivadas e o máximo da segunda derivada no intervalo [1,2].
f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2}.
Logo |f''(x)|=\dfrac{1}{x^2}. Em [1,2] a função 1/x^2 é decrescente, então seu máximo ocorre em x=1. Portanto
M_2=\max_{x\in[1,2]}|f''(x)|=\frac{1}{1^2}=1.

Passo 4

Impor a condição de erro desejada usando a cota: queremos \dfrac{M_2 h^2}{8}\le 10^{-7}. Substituindo M_2=1,
\frac{h^2}{8}\le 10^{-7}.
Resolver para h:
h^2 \le 8\cdot 10^{-7}\quad\Rightarrow\quad h \le \sqrt{8\cdot 10^{-7}}.
Calcule a raiz:
\sqrt{8\cdot 10^{-7}}=\sqrt{8}\,\cdot 10^{-3{,}5}\approx 2{,}82842712\cdot 10^{-3{,}5}\approx 0{,}00089442719.

Passo 5

Interpretação prática: qualquer h menor ou igual a \sqrt{8\cdot10^{-7}} garante erro menor que 10^{-7} em cada subintervalo e, portanto, em todo [1,2]. Se a tabela precisa dividir exatamente o intervalo [1,2] em N subintervalos iguais, então h=1/N. Para garantir h\le 0{,}00089442719 precisamos de
N\ge \frac{1}{0{,}00089442719}\approx 1118{,}034.
Assim o menor número inteiro de subintervalos que funciona é N=1119, que dá
h=\frac{1}{1119}\approx 0{,}000893983,
o que satisfaz h\le \sqrt{8\cdot10^{-7}}.

Passo 6

Resumo final e dica prática: a cota teórica dá o valor máximo permitido para o passo; na prática, ao construir a tabela é conveniente escolher N inteiro e tomar h=1/N com N pelo menos 1119 para garantir as seis casas decimais corretas (erro menor que 10^{-7}).

Resposta

h \le \sqrt{8\cdot 10^{-7}}\approx 0{,}00089442719
Escolhendo nós com N subintervalos, o menor N inteiro que garante o erro é N=1119, portanto pode-se tomar h=\dfrac{1}{1119}\approx 0{,}000893983.

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