^a Questão.(1,5 pts) Seja a função h dada por
h(x)=x^31-x^2
(Adaptado) Ex. 13 seção 3.2
(a) Encontre os pontos críticos de h.
Basta aplicar a regra do quociente, obtendo h^prime(x)=ldots=x^2(3-x^2)(1-x^2)^2. Resolvendo h^prime(x)=0, obtemos x=0, x=-raiz3 e x=raiz3. Além disso, h^prime não existe se x=-1 ou x=1, pois anula o denominador. Portanto, os pontos críticos de h são x=0, x= pm raiz3 e x= pm 1.
(b) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto ( 2, h(2) ).
Calculando h(2)=ldots=-83 e h^prime(2)=ldots=-49. A equação da reta tangente dada por y-h(2)=h^prime(2)(x-2) é
y=-49 x-169 ou y=-49(x+4)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=x^31-x^2
e pede (a) os pontos críticos de h — isto é, os x no domínio em que h'(x)=0 ou em que h' não existe — e (b) a reta tangente ao gráfico de h no ponto l(2,h(2)r). Vamos usar a regra do quociente para obter h'(x), depois resolver as condições de anulação e indefinição, e por fim aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivando por quociente,
h'(x) = 3x^2,(1 - x^2) ;-; x^3,(-2x)(1 - x^2)^2 = 3x^2 - 3x^4 + 2x^4(1 - x^2)^2 = 3x^2 - x^4(1 - x^2)^2 = x^2(3 - x^2)(1 - x^2)^2

Passo 3

Para achar onde h'(x)=0, resolvemos
x^2(3 - x^2) = 0
que dá x=0 ou x^2=3, i.e.\ x=pmraiz3.

Passo 4

A derivada não existe quando o denominador some, isto é,
1 - x^2 = 0
que ocorre em x=pm1. Esses valores fazem h' indefinida, então também são pontos críticos (no sentido de derivada não existir).

Passo 5

Para a reta tangente em x0=2, calculamos
h(2)=2^31-2^2=8-3=-83,
h'(2)=2^2,(3-2^2)(1-2^2)^2 =4cdot(-1)(-3)^2 =-49

Passo 6

A equação da reta tangente é
y - h(2) = h'(2),(x-2)
Substituindo h(2)=-tfrac83 e h'(2)=-tfrac49, obtemos
y + 83 = -49(x - 2) Longrightarrow y = -49x - 169

Resposta

(a) Os pontos críticos de h são
x = 0, x = pm raiz3, x = pm 1
(b) A reta tangente no ponto l(2,h(2)r) é
y = -49x - 169

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