f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}(x)}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(Dica: use a definişão de derivada no ponto como o limite da razio incremental)
A dica diz para usar a definição de derivada no ponto como limite da razão incremental (ou seja, a definição de derivada parcial).]
Passo 2
Lembrando a definição de derivada parcial no ponto (aula rápida): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é o limite da diferença incremental mantendo y fixo em 0. Em fórmula:
Aqui h e k são incrementos reais que tendem a zero. Essa definição é exatamente a que o enunciado recomenda: variar só uma coordenada e ver o limite da razão incremental.
Passo 3
Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0). Para isso precisamos da expressão de f(h,0) quando h\neq 0. Substituindo y=0 na fórmula para (x,y)\neq(0,0) obtemos
Agora um mini-aperfeiçoamento sobre o limite \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h}: é um limite clássico. Uma forma direta de ver que ele vale 1 é usar a desigualdade trigonométrica (para 0<h<\tfrac{\pi}{2}):
\cos(h)\le \frac{\sin(h)}{h}\le 1.
Como \lim_{h\to 0}\cos(h)=1, pelo Teorema do Confronto (Squeeze), conclui-se que
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1.
Para h<0 a expressão é par no quociente \sin(h)/h (pois \sin(-h)/(-h)=\sin(h)/h), então o limite bilateral também é 1.
Passo 5
Portanto, a partir dos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.
Passo 6
Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Precisamos de f(0,k) para k\neq 0. Substituindo x=0 na expressão: