Questāo 2. Considere a funçāo dada por.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}(x)}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(Dica: use a definişão de derivada no ponto como o limite da razio incremental)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\left(x^{2}-y^{2}\right)\sin(x)}{x^{2}+y^{2}} & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0 & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede:
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
  • O valor de f no ponto (0,0) é 0.
  • A dica diz para usar a definição de derivada no ponto como limite da razão incremental (ou seja, a definição de derivada parcial).]

Passo 2

Lembrando a definição de derivada parcial no ponto (aula rápida): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é o limite da diferença incremental mantendo y fixo em 0. Em fórmula:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}.
Aqui h e k são incrementos reais que tendem a zero. Essa definição é exatamente a que o enunciado recomenda: variar só uma coordenada e ver o limite da razão incremental.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0). Para isso precisamos da expressão de f(h,0) quando h\neq 0. Substituindo y=0 na fórmula para (x,y)\neq(0,0) obtemos
f(h,0)=\frac{\big(h^{2}-0^{2}\big)\sin(h)}{h^{2}+0^{2}}=\frac{h^{2}\sin(h)}{h^{2}}=\sin(h), \qquad(h\neq 0).
Observação: a divisão é válida porque, para h\neq 0, h^{2}\neq 0.

Passo 4

Substituindo f(h,0)=\sin(h) na definição do quociente de diferença:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\sin(h)-0}{h}=\frac{\sin(h)}{h}.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}.
Agora um mini-aperfeiçoamento sobre o limite \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h}: é um limite clássico. Uma forma direta de ver que ele vale 1 é usar a desigualdade trigonométrica (para 0<h<\tfrac{\pi}{2}):
\cos(h)\le \frac{\sin(h)}{h}\le 1.
Como \lim_{h\to 0}\cos(h)=1, pelo Teorema do Confronto (Squeeze), conclui-se que
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1.
Para h<0 a expressão é par no quociente \sin(h)/h (pois \sin(-h)/(-h)=\sin(h)/h), então o limite bilateral também é 1.

Passo 5

Portanto, a partir dos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Precisamos de f(0,k) para k\neq 0. Substituindo x=0 na expressão:
f(0,k)=\frac{\big(0^{2}-k^{2}\big)\sin(0)}{0^{2}+k^{2}}=\frac{-k^{2}\cdot 0}{k^{2}}=0.
Novamente a divisão por k^{2} é válida para k\neq 0.

Passo 7

O quociente de diferença para a derivada parcial em y é
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0.
Esse quociente é exatamente zero para todo k\neq 0, então o limite quando k\to 0 vale
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1
\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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