Questão 1. Seja f(x, y)=\frac{y-4}{x^{2}-2 x}.
(a) Determine o domínio de f.
(b) E correto afirmar que a curva de nível I da funçāo f é uma parábola? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y-4}{x^{2}-2x} e pede duas coisas:
  • (a) Determinar o domínio de f.
  • (b) Dizer se a curva de nível I (isto é, o conjunto de pontos onde f(x,y)=I, para uma constante real I) é uma parábola, com justificativa.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A expressão de f tem um denominador \,x^{2}-2x.
  • Pontos onde o denominador vale zero são problemáticos (a função não está definida neles).
  • Não foi dada nenhuma outra restrição sobre x ou y.

Passo 2

Entender domínio de uma função de duas variáveis: o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define a função está bem definida (sem divisão por zero, raízes negativas de radicais pares, etc.). Aqui só precisamos preocupar-nos com divisão por zero.
Calcule os zeros do denominador:
x^{2}-2x = x(x-2).
Os zeros são x=0 e x=2. Nesses valores o denominador é zero e a expressão \dfrac{y-4}{x^{2}-2x} não faz sentido (divisão por zero).

Passo 3

Concluímos sobre o domínio com base no passo anterior:
  • Não há restrição sobre y (pode ser qualquer número real), desde que o denominador não seja zero.
  • Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com x\neq 0 e x\neq 2.
Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ne 0,\\ x\ne 2\}.
Uma forma alternativa de escrever: D=\mathbb{R}^2\setminus\big(\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\cup\{(2,y):y\in\mathbb{R}\}\big) — ou seja, todo o plano menos as duas retas verticais x=0 e x=2.

Passo 4

Agora vamos definir e manipular a equação da curva de nível. Para uma constante real I, a curva de nível L_I é
L_I=\{(x,y)\in D \mid f(x,y)=I\}.
Escrever a equação f(x,y)=I e resolver para y:
\frac{y-4}{x^{2}-2x}=I
multiplicando ambos os lados por x^{2}-2x (válido somente quando (x,y)\in D, isto é, x\neq0,2):
y-4 = I(x^{2}-2x).
Logo
y = I x^{2} - 2I x + 4.

Passo 5

Explicar o que é uma parábola no sentido cartesiano e interpretar o resultado:
  • A forma geral de uma cônica que é uma parábola com eixo vertical é y = a x^{2} + b x + c, com a\neq 0. Se a=0 a equação reduz-se a y = bx + c, que é uma reta (não é parábola).
  • Na nossa equação aparece a=I, b=-2I, c=4.
Portanto:
  • Se I\neq 0, então a=I\neq 0 e a equação y = I x^{2} - 2I x + 4 é uma parábola (do tipo eixo vertical). Contudo, como a função f não está definida para x=0 e x=2, a curva de nível efetiva é essa parábola “fatiada”: a parábola padrão intersectada com o domínio D. Ou seja, se a parábola passar por pontos com x=0 ou x=2, esses pontos ficam excluídos do nível porque não pertencem ao domínio.
  • Se I=0, a equação fica y=4, que é uma reta horizontal — não uma parábola.

Passo 6

Dar exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Exemplo I=1: a curva candidata é y=x^{2}-2x+4. Essa é uma parábola, mas os pontos (0,4) e (2,4) embora satisfaçam a equação da parábola, não pertencem ao nível porque x=0 e x=2 estão fora do domínio.
  • Exemplo I=0: a curva é y=4, reta horizontal — claramente não é uma parábola.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ne 0,\\ x\ne 2\}.
(b) Para uma constante I a equação da curva de nível é y=I x^{2}-2I x+4. Portanto, se I\neq 0 a curva de nível é uma parábola (intersectada com o domínio, isto é, possivelmente com os pontos com x=0 ou x=2 excluídos); se I=0 a curva de nível é a reta y=4 (não é parábola).

Exercícios relacionados