Questão 1. Seja
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) E correto afirmar que a curva de nível I da funçāo
é uma parábola? Justifique.
(a) Determine o domínio de
(b) E correto afirmar que a curva de nível I da funçāo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Dizer se a curva de nível
(isto é, o conjunto de pontos onde , para uma constante real ) é uma parábola, com justificativa.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A expressão de
tem um denominador . - Pontos onde o denominador vale zero são problemáticos (a função não está definida neles).
- Não foi dada nenhuma outra restrição sobre
ou .
Passo 2
Entender domínio de uma função de duas variáveis: o domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função está bem definida (sem divisão por zero, raízes negativas de radicais pares, etc.). Aqui só precisamos preocupar-nos com divisão por zero.
Calcule os zeros do denominador:
Os zeros são
e
. Nesses valores o denominador é zero e a expressão
não faz sentido (divisão por zero).
Passo 3
Concluímos sobre o domínio com base no passo anterior:
- Não há restrição sobre
(pode ser qualquer número real), desde que o denominador não seja zero. - Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
com e .
Em notação:
Uma forma alternativa de escrever:
— ou seja, todo o plano menos as duas retas verticais
e
.
Passo 4
Agora vamos definir e manipular a equação da curva de nível. Para uma constante real
, a curva de nível
é
Escrever a equação
e resolver para
:
multiplicando ambos os lados por
(válido somente quando
, isto é,
):
Logo
Passo 5
Explicar o que é uma parábola no sentido cartesiano e interpretar o resultado:
- A forma geral de uma cônica que é uma parábola com eixo vertical é
, com . Se a equação reduz-se a , que é uma reta (não é parábola). - Na nossa equação aparece
, , .
Portanto:
- Se
, então e a equação é uma parábola (do tipo eixo vertical). Contudo, como a função não está definida para e , a curva de nível efetiva é essa parábola “fatiada”: a parábola padrão intersectada com o domínio . Ou seja, se a parábola passar por pontos com ou , esses pontos ficam excluídos do nível porque não pertencem ao domínio. - Se
, a equação fica , que é uma reta horizontal — não uma parábola.
Passo 6
Dar exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Exemplo
: a curva candidata é . Essa é uma parábola, mas os pontos e embora satisfaçam a equação da parábola, não pertencem ao nível porque e estão fora do domínio. - Exemplo
: a curva é , reta horizontal — claramente não é uma parábola.
Resposta
(a)
(b) Para uma constante
a equação da curva de nível é
. Portanto, se
a curva de nível é uma parábola (intersectada com o domínio, isto é, possivelmente com os pontos com
ou
excluídos); se
a curva de nível é a reta
(não é parábola).