Questāo 3. Mostre que a funçāo
é soluçāo da seguinte equaçāo diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - A identidade a ser verificada envolve as segundas derivadas parciais de
(ou seja, o laplaciano de ) e o quadrado de .
Passo 2
Preparar a notação e a estratégia (apenas preparação, sem resolver ainda).
Defino a função auxiliar
Defino a função auxiliar
de modo que
A estratégia é calcular as segundas derivadas parciais
,
e
explicitamente e somá-las. Vou usar as regras de derivação seguintes (pequena aula rápida):
- Regra da cadeia: se
com , então
- Regra do produto: se
então
Ambas serão aplicadas aos derivados parciais (tratando as outras variáveis como constantes quando derivar em relação a uma variável).
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
.
Como e
, pela regra da cadeia:
Como
Isto significa que, fixando
e
,
se comporta como a função
de
, e a derivada é essa.
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
.
Parto de
Parto de
Vou derivar isso em relação a
usando a regra do produto com
e
.
Primeiro, .
Segundo, aplicando a regra da cadeia a e lembrando que
,
Primeiro,
Segundo, aplicando a regra da cadeia a
Agora a segunda derivada:
Simplificando:
Colocando em um único denominador
:
pois
e portanto
.
Passo 5
Pelo mesmo raciocínio por simetria, as segundas derivadas em
e
são (trocar
por
e por
nas fórmulas):
Passo 6
Somar as três segundas derivadas para obter o laplaciano.
Somando as expressões obtidas:
Somando as expressões obtidas:
Agrupando os coeficientes de
,
e
dentro do numerador:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo o numerador simplifica para. Portanto
Passo 7
Relacionar com
.
Como , tem-se
Como
Portanto o resultado do passo anterior pode ser reescrito como