Questāo 3. Mostre que a funçāo f(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é soluçāo da seguinte equaçāo diferencial:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2 \cdot f^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\cdot f^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f.
  • A identidade a ser verificada envolve as segundas derivadas parciais de f (ou seja, o laplaciano de f) e o quadrado de f.

Passo 2

Preparar a notação e a estratégia (apenas preparação, sem resolver ainda).
Defino a função auxiliar
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
de modo que
f=u^{-1}.
A estratégia é calcular as segundas derivadas parciais \partial^{2}f/\partial x^{2}, \partial^{2}f/\partial y^{2} e \partial^{2}f/\partial z^{2} explicitamente e somá-las. Vou usar as regras de derivação seguintes (pequena aula rápida):
  • Regra da cadeia: se f(u)=u^{-1} com u=u(x), então
\frac{d}{dx}u^{-1}=-u^{-2}\frac{du}{dx}.
  • Regra do produto: se g(x)=v(x)w(x) então
g'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x).
Ambas serão aplicadas aos derivados parciais (tratando as outras variáveis como constantes quando derivar em relação a uma variável).

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x.
Como f=u^{-1} e \partial u/\partial x=2x, pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=-u^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{u^{2}}.
Isto significa que, fixando y e z, f se comporta como a função u^{-1} de x, e a derivada é essa.

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial em relação a x.
Parto de
\frac{\partial f}{\partial x}=-2x\,u^{-2}.
Vou derivar isso em relação a x usando a regra do produto com v(x)=-2x e w(x)=u^{-2}.
Primeiro, v'(x)=-2.
Segundo, aplicando a regra da cadeia a w(x)=u^{-2} e lembrando que \partial u/\partial x=2x,
w'(x)=-2u^{-3}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-2u^{-3}\cdot 2x=-4x\,u^{-3}.
Agora a segunda derivada:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=v'(x)w(x)+v(x)w'(x) = (-2)u^{-2}+(-2x)\cdot(-4x\,u^{-3}).
Simplificando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2u^{-2}+8x^{2}u^{-3}.
Colocando em um único denominador u^{3}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{-2u+8x^{2}}{u^{3}}=\frac{2(3x^{2}-y^{2}-z^{2})}{u^{3}},
pois u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e portanto -2u+8x^{2}=2(3x^{2}-y^{2}-z^{2}).

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio por simetria, as segundas derivadas em y e z são (trocar x por y e por z nas fórmulas):
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{2(3y^{2}-x^{2}-z^{2})}{u^{3}}, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{2(3z^{2}-x^{2}-y^{2})}{u^{3}}.

Passo 6

Somar as três segundas derivadas para obter o laplaciano.
Somando as expressões obtidas:
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}&+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \\\ &= \frac{2(3x^{2}-y^{2}-z^{2})+2(3y^{2}-x^{2}-z^{2})+2(3z^{2}-x^{2}-y^{2})}{u^{3}}. \end{aligned}
Agrupando os coeficientes de x^{2}, y^{2} e z^{2} dentro do numerador:
  • Coeficiente de x^{2}: 2(3-1-1)=2\cdot 1.
  • Coeficiente de y^{2}: 2(3-1-1)=2\cdot 1.
  • Coeficiente de z^{2}: 2(3-1-1)=2\cdot 1.
    Logo o numerador simplifica para 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2u. Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{2u}{u^{3}}=\frac{2}{u^{2}}.

Passo 7

Relacionar com f^{2}.
Como f=u^{-1}, tem-se
f^{2}=u^{-2}.
Portanto o resultado do passo anterior pode ser reescrito como
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\cdot u^{-2}=2\cdot f^{2}.

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\cdot f^{2}

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