QUESTÃO 9:
Considere a função
definida abaixo.
a) Analise a existência de assíntotas.
b) Analise a continuidade.
b) Analise a continuidade.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) analisar a existência de assíntotas;
- (b) analisar a continuidade.
Informações relevantes que podemos extrair do enunciado (sem ainda resolver):
- O numerador é
. - O denominador é
, que se anula quando , ou seja em . Esses pontos são candidatos a problemas (discontinuidades ou assíntotas). - A função é racional (razão de polinômios), portanto é contínua onde o denominador é diferente de zero.
Passo 2
Fatorar e simplificar a expressão (isso facilita muito as contas).
Primeiro, note que fazendo a substituição o numerador fica
, que é uma quadrática que fatoriza:
Primeiro, note que fazendo a substituição
Voltando a
, isso dá
Agora escrevendo tudo em fatores lineares:
O denominador já pode ser escrito como
Podemos simplificar um fator
entre numerador e denominador (desde que
, pois nesses pontos a expressão original não está definida). Assim, para
obtemos a forma simplificada
Esta forma é válida para todos os
exceto
. Guardar isso é importante para analisar limites e continuidade.
Passo 3
Analisar as assíntotas verticais em
estudando os limites laterais.
Começando por
. Usando a forma simplificada
quando
o numerador tende a
(positivo) e o fator
tende a
(positivo). O sinal do denominador próximo a
é, portanto, determinado por
:
- Se
então e o denominador , logo . - Se
então e o denominador é negativo, logo .
Portanto em
as duas limitações laterais são infinidades com sinais opostos → há uma assíntota vertical em
.
Agora
. Novamente o numerador tende a
(positivo). Escrevendo o denominador como
, ao aproximar-se de
temos que
(negativo, quase constante) e
é o fator que muda de sinal:
- Se
então e (negativo vezes negativo), logo . - Se
então e , logo .
Assim em
também as duas limitações laterais são infinitas (com sinais opostos) → há uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Analisar assíntotas horizontais (comportamento quando
).
Usando a forma simplificada
para
(ou
) os termos de maior ordem dominam. Como numerador e denominador têm ambos grau
com coeficiente líder igual a
, o limite quando
é o quociente dos coeficientes líderes:
Logo existe uma assíntota horizontal
. Não existe assíntota oblíqua porque o limite em infinito é finito (igual a
) e o grau do numerador não é exatamente um a mais que o do denominador.
Passo 5
Classificar as descontinuidades e dizer onde
é contínua.
- Domínio natural da função original: todos os
tais que , isto é . - Em todo ponto do domínio (quando
) a função é uma razão de polinômios com denominador não nulo, portanto é contínua. - Em
a função não está definida e os limites laterais são (conforme calculado). Essas são descontinuidades do tipo não removível (descontinuidade essencial/infinita), associadas às assíntotas verticais encontradas. - Não há pontos com descontinuidade removível (buracos), pois após cancelamento ainda resta fator linear no denominador que faz os limites irem para infinito em
.
Passo 6
Resumo final (curto e direto, com o que você precisa saber para a prova):
- fatorizar e simplificar a expressão ajuda muito; aqui o cancelamento não removeu totalmente a singularidade, restando pólos simples em
; - assíntota vertical ocorre quando o limite lateral é infinito; assíntota horizontal quando o limite em infinito é finito (razão dos coeficientes líderes se os graus forem iguais).
Resposta
(a) Assíntotas verticais em
e
. Assíntota horizontal em
.
(b) é contínua em
. Em
há descontinuidade essencial/infinita (assíntotas verticais), portanto
não é contínua nesses pontos.
(b)