QUESTÃO 9:

Considere a função f definida abaixo.
f(x)=\frac{x^{4}-5 x^{2}+4}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}
a) Analise a existência de assíntotas.
b) Analise a continuidade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{4}-5 x^{2}+4}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}
e pede duas coisas:
  • (a) analisar a existência de assíntotas;
  • (b) analisar a continuidade.
Informações relevantes que podemos extrair do enunciado (sem ainda resolver):
  • O numerador é x^{4}-5x^{2}+4.
  • O denominador é \left(x^{2}-4\right)^{2}, que se anula quando x^{2}-4=0, ou seja em x=\pm2. Esses pontos são candidatos a problemas (discontinuidades ou assíntotas).
  • A função é racional (razão de polinômios), portanto é contínua onde o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Fatorar e simplificar a expressão (isso facilita muito as contas).
Primeiro, note que fazendo a substituição y=x^{2} o numerador fica y^{2}-5y+4, que é uma quadrática que fatoriza:
y^{2}-5y+4=(y-1)(y-4).
Voltando a x, isso dá
x^{4}-5x^{2}+4=(x^{2}-1)(x^{2}-4).
Agora escrevendo tudo em fatores lineares:
x^{4}-5x^{2}+4=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).
O denominador já pode ser escrito como
\left(x^{2}-4\right)^{2}=(x-2)^{2}(x+2)^{2}.
Podemos simplificar um fator (x-2)(x+2) entre numerador e denominador (desde que x\neq\pm2, pois nesses pontos a expressão original não está definida). Assim, para x\neq\pm2 obtemos a forma simplificada
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}.
Esta forma é válida para todos os x exceto x=\pm2. Guardar isso é importante para analisar limites e continuidade.

Passo 3

Analisar as assíntotas verticais em x=\pm2 estudando os limites laterais.
Começando por x=2. Usando a forma simplificada
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-1}{(x-2)(x+2)},
quando x\to2 o numerador tende a 2^{2}-1=3 (positivo) e o fator x+2 tende a 4 (positivo). O sinal do denominador próximo a 2 é, portanto, determinado por x-2:
  • Se x\to2^{+} então x-2>0 e o denominador (x-2)(x+2)>0, logo f(x)\to +\infty.
  • Se x\to2^{-} então x-2<0 e o denominador é negativo, logo f(x)\to -\infty.
Portanto em x=2 as duas limitações laterais são infinidades com sinais opostos → há uma assíntota vertical em x=2.
Agora x=-2. Novamente o numerador tende a (-2)^{2}-1=3 (positivo). Escrevendo o denominador como (x+2)(x-2), ao aproximar-se de -2 temos que x-2\approx -4 (negativo, quase constante) e x+2 é o fator que muda de sinal:
  • Se x\to-2^{-} então x+2<0 e (x+2)(x-2)>0 (negativo vezes negativo), logo f(x)\to +\infty.
  • Se x\to-2^{+} então x+2>0 e (x+2)(x-2)<0, logo f(x)\to -\infty.
Assim em x=-2 também as duas limitações laterais são infinitas (com sinais opostos) → há uma assíntota vertical em x=-2.

Passo 4

Analisar assíntotas horizontais (comportamento quando x\to\pm\infty).
Usando a forma simplificada
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4},
para x\to\infty (ou x\to-\infty) os termos de maior ordem dominam. Como numerador e denominador têm ambos grau 2 com coeficiente líder igual a 1, o limite quando |x|\to\infty é o quociente dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{1}{1}=1.
Logo existe uma assíntota horizontal y=1. Não existe assíntota oblíqua porque o limite em infinito é finito (igual a 1) e o grau do numerador não é exatamente um a mais que o do denominador.

Passo 5

Classificar as descontinuidades e dizer onde f é contínua.
  • Domínio natural da função original: todos os x tais que \left(x^{2}-4\right)^{2}\neq0, isto é x\in\mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}.
  • Em todo ponto do domínio (quando x\neq\pm2) a função é uma razão de polinômios com denominador não nulo, portanto é contínua.
  • Em x=\pm2 a função não está definida e os limites laterais são \pm\infty (conforme calculado). Essas são descontinuidades do tipo não removível (descontinuidade essencial/infinita), associadas às assíntotas verticais encontradas.
  • Não há pontos com descontinuidade removível (buracos), pois após cancelamento ainda resta fator linear no denominador que faz os limites irem para infinito em x=\pm2.

Passo 6

Resumo final (curto e direto, com o que você precisa saber para a prova):
  • fatorizar e simplificar a expressão ajuda muito; aqui o cancelamento não removeu totalmente a singularidade, restando pólos simples em x=\pm2;
  • assíntota vertical ocorre quando o limite lateral é infinito; assíntota horizontal quando o limite em infinito é finito (razão dos coeficientes líderes se os graus forem iguais).

Resposta

(a) Assíntotas verticais em x=2 e x=-2. Assíntota horizontal em y=1.
(b) f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}. Em x=\pm2 há descontinuidade essencial/infinita (assíntotas verticais), portanto f não é contínua nesses pontos.

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