11.15 Uma coluna é constituída de duas cantoneiras de 102 \times 76 \times 6,4 \mathrm{~mm} soldadas da maneira indicada. Sabe-se que L_{e}=4 \mathrm{~m} e E=200 \mathrm{GPa}; determinar o coeficiente de segurança contra a flambagem para uma carga centrada de 75 kN .

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Duas cantoneiras iguais de 102 \times 76 \times 6{,}4\\ \mathrm{mm} (isto é: disposição dos comprimentos das pernas a=102\\ \mathrm{mm}, b=76\\ \mathrm{mm} e espessura t=6{,}4\\ \mathrm{mm}).
    • Comprimento efetivo da coluna L_{e}=4\\ \mathrm{m}.
    • Módulo de elasticidade E=200\\ \mathrm{GPa}.
    • Carga centrada aplicada P=75\\ \mathrm{kN}.
  • O que se pede:
    • Determinar o coeficiente (fator) de segurança contra flambagem para essa carga centrada, isto é calcular \displaystyle S=\frac{P_{cr}}{P}, onde P_{cr} é a carga crítica de Euler da coluna (ou outro critério de flambagem, se aplicável).
  • Informação que falta e que impede um cálculo numérico direto:
    • O enunciado diz que as cantoneiras estão “soldadas da maneira indicada”. Essa indicação normalmente contém a orientação relativa das cantoneiras (por exemplo: faces encostadas, costas encostadas, espáçamento entre centroides, se as pernas longas ficam para fora etc.). A orientação e a posição relativa são necessárias para calcular o momento de inércia da seção composta em relação aos eixos relevantes (o momento de inércia mínimo I_{\min} determina P_{cr}).
    • Sem a figura ou uma descrição precisa da montagem, não é possível obter numericamente I da seção composta e, portanto, não é possível calcular numericamente P_{cr} nem o coeficiente de segurança.
Vou agora explicar detalhadamente a teoria e mostrar passo a passo como se faria o cálculo assim que a orientação / figura forem conhecidas; também vou calcular propriedades básicas da cantoneira isolada (úteis para montar a seção composta).

Passo 2

Conceito de flambagem e fórmula de Euler (a “aula” rápida):
  • Quando uma coluna esbelta é comprimida, a flambagem é um modo de colapso por instabilidade. Para uma coluna linear-elástica, sem imperfeições grandes e com extremidades ideais, a carga crítica de Euler é
P_{cr}=\dfrac{\pi^{2} E I}{L_{e}^{2}},
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica (N),
  • E é o módulo de elasticidade (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão que produz menor P_{cr} (m^4),
  • L_{e} é o comprimento efetivo da coluna (m).
  • Observação: o “comprimento efetivo” L_{e} já leva em conta as condições de contorno (pinos, engastes, etc.). Se o enunciado fornece L_{e}=4\\ \mathrm{m}, já podemos usar diretamente essa expressão.
  • Coeficiente (fator) de segurança contra flambagem que devemos obter:
S=\dfrac{P_{cr}}{P}.
  • Interpretação prática: se S>1 a coluna resiste elasticamente à carga P (para o modelo de Euler). Em projeto, costuma-se exigir S bem maior que 1 por fatores de imperfeição, incertezas e limites elásticos, mas aqui o enunciado pede apenas o coeficiente teórico.

Passo 3

O que é necessário calcular da seção transversal (passo-a-passo):
  1. Área da seção transversal total A_{tot} (útil para tensões e para colocar massa, mas não é determinante para Euler).
  2. Momento(s) de inércia I_x e I_y da seção composta em relação aos eixos principais (em \mathrm{m}^4 ou \mathrm{mm}^4). O eixo que produz o menor I é o eixo crítico para flambagem; usar I_{\min} em P_{cr}.
  3. Para uma seção composta por duas peças iguais, calcula-se o momento de inércia total somando as contribuições de cada peça deslocadas do eixo da seção composta por meio do Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner): para cada peça,
I_{\text{peça, total}} = I_{\text{peça,centro}} + A_{\text{peça}} d^{2},ççç
onde d é a distância entre o centróide da peça e o centróide da seção composta, na direção apropriada.
Portanto, a chave é saber as posições dos centroides das duas cantoneiras na montagem para calcular os deslocamentos d.

Passo 4

Propriedades da cantoneira isolada (como calcular e valores numéricos úteis)
  • Modelagem prática: uma cantoneira L pode ser vista como a união de dois retângulos (as duas pernas) menos o quadrado de sobreposição da espessura. Assim, para cada cantoneira com pernas a e b e espessura t:
    • Áreas dos retângulos (em mm^2): A_1 = a\,t,\qquad A_2 = b\,t,\qquad A_3 = t^{2} \quad\text{(sobreposição)}çã
    • Área total da cantoneira: A = A_1 + A_2 - A_3 = t\,(a+b-t).
  • Para os valores dados a=102\\ \mathrm{mm}, b=76\\ \mathrm{mm}, t=6{,}4\\ \mathrm{mm}:
    • Calcular em TeX:
A = 6{,}4\,(102+76-6{,}4)=6{,}4\cdot 171{,}6=1098{,}24\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Duas cantoneiras: A_{tot}=2A=2196{,}48\\ \mathrm{mm}^{2}=0{,}00219648\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Centroide da cantoneira (medido a partir do canto exterior, onde as duas pernas se encontram):
    • Método: calcular os momentos estáticos das três retângulos (dois positivos e o de sobreposição a subtrair) e dividir pela área total.
    • Resultados numéricos (passo a passo, já feitos):
      • Coordenadas do centróide da cantoneira isolada:
x_c \approx 18{,}61\\ \mathrm{mm},\qquad y_c \approx 31{,}61\\ \mathrm{mm},
onde x é medido ao longo da perna de comprimento a e y ao longo da perna de comprimento b, ambos a partir do canto externo da L.
  • Momentos de inércia centroidais da cantoneira (obtidos decompondo em retângulos e aplicando o teorema dos eixos paralelos):
    • Resultados numéricos (em \mathrm{mm}^{4}):
I_{x,\text{cant}} \approx 1{,}1726\times 10^{6}\\ \mathrm{mm}^{4}, \qquad I_{y,\text{cant}} \approx 5{,}6448\times 10^{5}\\ \mathrm{mm}^{4}.
  • Observação: I_x refere-se ao eixo horizontal que passa pelo centróide da cantoneira (como definido acima) e I_y ao eixo vertical pelo centróide.
Esses valores fornecem as propriedades da peça individual. Para a seção composta precisamos da posição geométrica das duas cantoneiras.

Passo 5

Como montar a seção composta (receita prática) e obter I total
  1. A partir da figura (ou da descrição) determine as coordenadas (x_i,y_i) do centróide de cada cantoneira no sistema de eixos da seção composta. Normalmente, para duas cantoneiras iguais, a montagem será simétrica em pelo menos um eixo e o centróide da seção composta ficará no ponto médio entre os dois centroides das cantoneiras, mas isso depende da montagem.
  2. Calcule o centróide da seção composta (coordenadas \bar{x},\bar{y}) por
\bar{x}=\dfrac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i},\qquad \bar{y}=\dfrac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i}.
  1. Para cada cantoneira, calcule o momento de inércia em relação aos eixos centroidais da seção composta:
I_{x,i}^{(sec)} = I_{x,i}^{(cant)} + A_i (y_i-\bar{y})^{2}, \qquad I_{y,i}^{(sec)} = I_{y,i}^{(cant)} + A_i (x_i-\bar{x})^{2},
onde I_{x,i}^{(cant)} e I_{y,i}^{(cant)} são os momentos de inércia centrais da cantoneira (valores do Passo 4).
4. Some as contribuições das duas cantoneiras para obter os momentos da seção composta:
I_x^{(tot)}=\sum_i I_{x,i}^{(sec)},\qquad I_y^{(tot)}=\sum_i I_{y,i}^{(sec)}.
  1. O momento a usar na fórmula de Euler é I_{\min}=\min\{I_x^{(tot)},I_y^{(tot)}\}.
  2. Converter unidades para SI: se I estiver em \mathrm{mm}^4, passe para \mathrm{m}^4 dividindo por 10^{12}.
  3. Calcule a carga crítica de Euler:
P_{cr}=\dfrac{\pi^{2} E I_{\min}}{L_{e}^{2}}.
Lembre-se de usar E em Pa (aqui E=200\\ \mathrm{GPa}=2{,}0\times 10^{11}\\ \mathrm{Pa}) e L_{e} em metros.
8. Por fim, o coeficiente de segurança:
S=\dfrac{P_{cr}}{P}.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (caso típico) — como proceder se a montagem for especificada
  • Para lhe mostrar concretamente, suponha que a figura indique que as duas cantoneiras são montadas simetricamente com as pernas longas voltadas para fora, de modo que os centroides das duas cantoneiras ficam alinhados horizontalmente e separados por uma distância 2d (então a seção é simétrica em relação ao eixo vertical). Neste caso:
    • \bar{x}=0 por simetria (centro no meio), e cada cantoneira tem x_i=\pm d (o sinal depende do lado).
    • Então
I_y^{(tot)} = 2\big(I_{y,\text{cant}} + A d^{2}\big), \qquad I_x^{(tot)} = 2\big(I_{x,\text{cant}} + A (y_{\text{cant}}-\bar{y})^{2}\big).
  • O detalhe prático: d é a distância entre o centróide da cantoneira e o eixo vertical da seção composta, que se obtém a partir da figura (é a medida que falta no enunciado).
  • Com I_{\min} avaliado deste modo transforma-se imediatamente em P_{cr} e S.

Passo 7

Resumo do que eu já calculei e do que falta (resumindo com empatia)
  • Já calculei as propriedades da cantoneira isolada que você vai precisar: A, x_c,y_c, I_{x,\text{cant}} e I_{y,\text{cant}}. Essas são as peças básicas do puzzle.
  • Falta apenas a informação geométrica da montagem (a “maneira indicada” mencionada no enunciado): posição relativa (translação/rotacao) das duas cantoneiras. Sem isso, qualquer número final para S seria uma suposição.
  • Se você me fornecer a figura (ou uma descrição: por exemplo “cantoneiras com pernas longas para fora, soldadas pelas pernas curtas, centros separados por \,200\\ \mathrm{mm}\, na horizontal”, ou “cantoneiras frente a frente com costas coladas”, etc.), eu aplico imediatamente os passos do Passo 5 e entrego o cálculo numérico completo e a resposta final do coeficiente de segurança.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o coeficiente de segurança contra flambagem porque a orientação/posição relativa das duas cantoneiras (a figura “da maneira indicada”) não foi fornecida; essa informação é necessária para calcular o momento de inércia I_{\min} da seção composta. Forneça a figura ou descreva a montagem (posição dos centroides ou distância entre as cantoneiras) para que eu calcule P_{cr} e então o coeficiente S.

Exercícios relacionados