11.15 Uma coluna é constituída de duas cantoneiras de
soldadas da maneira indicada. Sabe-se que
e
; determinar o coeficiente de segurança contra a flambagem para uma carga centrada de 75 kN .
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- Duas cantoneiras iguais de
(isto é: disposição dos comprimentos das pernas , e espessura ). - Comprimento efetivo da coluna
. - Módulo de elasticidade
. - Carga centrada aplicada
.
- Duas cantoneiras iguais de
-
O que se pede:
- Determinar o coeficiente (fator) de segurança contra flambagem para essa carga centrada, isto é calcular
, onde é a carga crítica de Euler da coluna (ou outro critério de flambagem, se aplicável).
- Determinar o coeficiente (fator) de segurança contra flambagem para essa carga centrada, isto é calcular
-
Informação que falta e que impede um cálculo numérico direto:
- O enunciado diz que as cantoneiras estão “soldadas da maneira indicada”. Essa indicação normalmente contém a orientação relativa das cantoneiras (por exemplo: faces encostadas, costas encostadas, espáçamento entre centroides, se as pernas longas ficam para fora etc.). A orientação e a posição relativa são necessárias para calcular o momento de inércia da seção composta em relação aos eixos relevantes (o momento de inércia mínimo
determina ). - Sem a figura ou uma descrição precisa da montagem, não é possível obter numericamente
da seção composta e, portanto, não é possível calcular numericamente nem o coeficiente de segurança.
- O enunciado diz que as cantoneiras estão “soldadas da maneira indicada”. Essa indicação normalmente contém a orientação relativa das cantoneiras (por exemplo: faces encostadas, costas encostadas, espáçamento entre centroides, se as pernas longas ficam para fora etc.). A orientação e a posição relativa são necessárias para calcular o momento de inércia da seção composta em relação aos eixos relevantes (o momento de inércia mínimo
Vou agora explicar detalhadamente a teoria e mostrar passo a passo como se faria o cálculo assim que a orientação / figura forem conhecidas; também vou calcular propriedades básicas da cantoneira isolada (úteis para montar a seção composta).
Passo 2
Conceito de flambagem e fórmula de Euler (a “aula” rápida):
- Quando uma coluna esbelta é comprimida, a flambagem é um modo de colapso por instabilidade. Para uma coluna linear-elástica, sem imperfeições grandes e com extremidades ideais, a carga crítica de Euler é
onde:
-
é a carga crítica (N), -
é o módulo de elasticidade (Pa), -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão que produz menor (m^4), -
é o comprimento efetivo da coluna (m). - Observação: o “comprimento efetivo”
já leva em conta as condições de contorno (pinos, engastes, etc.). Se o enunciado fornece , já podemos usar diretamente essa expressão. - Coeficiente (fator) de segurança contra flambagem que devemos obter:
- Interpretação prática: se
a coluna resiste elasticamente à carga (para o modelo de Euler). Em projeto, costuma-se exigir bem maior que 1 por fatores de imperfeição, incertezas e limites elásticos, mas aqui o enunciado pede apenas o coeficiente teórico.
Passo 3
O que é necessário calcular da seção transversal (passo-a-passo):
- Área da seção transversal total
(útil para tensões e para colocar massa, mas não é determinante para Euler). - Momento(s) de inércia
e da seção composta em relação aos eixos principais (em ou ). O eixo que produz o menor é o eixo crítico para flambagem; usar em . - Para uma seção composta por duas peças iguais, calcula-se o momento de inércia total somando as contribuições de cada peça deslocadas do eixo da seção composta por meio do Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner): para cada peça,
onde
é a distância entre o centróide da peça e o centróide da seção composta, na direção apropriada.
Portanto, a chave é saber as posições dos centroides das duas cantoneiras na montagem para calcular os deslocamentos
.
Passo 4
Propriedades da cantoneira isolada (como calcular e valores numéricos úteis)
- Modelagem prática: uma cantoneira L pode ser vista como a união de dois retângulos (as duas pernas) menos o quadrado de sobreposição da espessura. Assim, para cada cantoneira com pernas
e e espessura : - Áreas dos retângulos (em mm^2):
- Área total da cantoneira:
- Áreas dos retângulos (em mm^2):
- Para os valores dados
, , : - Calcular em TeX:
-
Duas cantoneiras:
. -
Centroide da cantoneira (medido a partir do canto exterior, onde as duas pernas se encontram):
- Método: calcular os momentos estáticos das três retângulos (dois positivos e o de sobreposição a subtrair) e dividir pela área total.
- Resultados numéricos (passo a passo, já feitos):
- Coordenadas do centróide da cantoneira isolada:
onde
é medido ao longo da perna de comprimento
e
ao longo da perna de comprimento
, ambos a partir do canto externo da L.
- Momentos de inércia centroidais da cantoneira (obtidos decompondo em retângulos e aplicando o teorema dos eixos paralelos):
- Resultados numéricos (em
):
- Resultados numéricos (em
- Observação:
refere-se ao eixo horizontal que passa pelo centróide da cantoneira (como definido acima) e ao eixo vertical pelo centróide.
Esses valores fornecem as propriedades da peça individual. Para a seção composta precisamos da posição geométrica das duas cantoneiras.
Passo 5
Como montar a seção composta (receita prática) e obter
total
- A partir da figura (ou da descrição) determine as coordenadas
do centróide de cada cantoneira no sistema de eixos da seção composta. Normalmente, para duas cantoneiras iguais, a montagem será simétrica em pelo menos um eixo e o centróide da seção composta ficará no ponto médio entre os dois centroides das cantoneiras, mas isso depende da montagem. - Calcule o centróide da seção composta (coordenadas
) por
- Para cada cantoneira, calcule o momento de inércia em relação aos eixos centroidais da seção composta:
onde
e
são os momentos de inércia centrais da cantoneira (valores do Passo 4).
4. Some as contribuições das duas cantoneiras para obter os momentos da seção composta:
4. Some as contribuições das duas cantoneiras para obter os momentos da seção composta:
- O momento a usar na fórmula de Euler é
. - Converter unidades para SI: se
estiver em , passe para dividindo por . - Calcule a carga crítica de Euler:
Lembre-se de usar
em Pa (aqui
) e
em metros.
8. Por fim, o coeficiente de segurança:
8. Por fim, o coeficiente de segurança:
Passo 6
Exemplo ilustrativo (caso típico) — como proceder se a montagem for especificada
- Para lhe mostrar concretamente, suponha que a figura indique que as duas cantoneiras são montadas simetricamente com as pernas longas voltadas para fora, de modo que os centroides das duas cantoneiras ficam alinhados horizontalmente e separados por uma distância
(então a seção é simétrica em relação ao eixo vertical). Neste caso: -
por simetria (centro no meio), e cada cantoneira tem (o sinal depende do lado). - Então
-
- O detalhe prático:
é a distância entre o centróide da cantoneira e o eixo vertical da seção composta, que se obtém a partir da figura (é a medida que falta no enunciado). - Com
avaliado deste modo transforma-se imediatamente em e .
Passo 7
Resumo do que eu já calculei e do que falta (resumindo com empatia)
- Já calculei as propriedades da cantoneira isolada que você vai precisar:
, , e . Essas são as peças básicas do puzzle. - Falta apenas a informação geométrica da montagem (a “maneira indicada” mencionada no enunciado): posição relativa (translação/rotacao) das duas cantoneiras. Sem isso, qualquer número final para
seria uma suposição. - Se você me fornecer a figura (ou uma descrição: por exemplo “cantoneiras com pernas longas para fora, soldadas pelas pernas curtas, centros separados por
na horizontal”, ou “cantoneiras frente a frente com costas coladas”, etc.), eu aplico imediatamente os passos do Passo 5 e entrego o cálculo numérico completo e a resposta final do coeficiente de segurança.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o coeficiente de segurança contra flambagem porque a orientação/posição relativa das duas cantoneiras (a figura “da maneira indicada”) não foi fornecida; essa informação é necessária para calcular o momento de inércia
da seção composta. Forneça a figura ou descreva a montagem (posição dos centroides ou distância entre as cantoneiras) para que eu calcule
e então o coeficiente
.