Verifique se cada função abaixo é contínua em mathbb{R}. Se não for contínua, torne-a contínua em mathbb{R}, se possível.
g(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-1, \text { se } x \leq 2 \\\ x+3, \text { se } x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] x+3, & \text{se } x>2, \end{cases}
e pede para verificar se g é contínua em \mathbb{R}. Se não for, pede para torná‑la contínua em \mathbb{R}, se isso for possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função tem duas expressões: \;x^{2}-1\; para x\le2 e \;x+3\; para x>2.
  • O possível ponto problemático é x=2, onde a definição muda de ramo.
  • A tarefa principal: determinar continuidade em todos os pontos de \mathbb{R} e, se houver descontinuidade, verificar se é possível corrigir (tornar contínua) e como.]

Passo 2

Definição e ideia prática de continuidade (passo a passo, sem pular passos).
  • Intuitivamente: uma função é contínua em um ponto quando não há “salto” ou “buraco”: o valor da função nesse ponto coincide com o valor para o qual os valores próximos da variável tendem.
  • Formalmente, para um ponto a dizemos que g é contínua em a se valem simultaneamente: \lim_{x\to a^-} g(x),\qquad \lim_{x\to a^+} g(x)\qquad\text{e}\qquad g(a)existem e são todos iguais. Resumindo: \text{\(g\) é contínua em \(a\)} \iff \lim_{x\to a^-} g(x)=\lim_{x\to a^+} g(x)=g(a).éí
  • Aqui \lim_{x\to a^-} g(x) é o limite pela esquerda (quando x se aproxima de a com x<a) e \lim_{x\to a^+} g(x) é o limite pela direita (quando x>a). Para funções dadas por partes, os dois devem coincidir em a para que a função tenha limite em a.

Passo 3

Verificar continuidade para x\neq 2.
  • Se x<2 então usamos a expressão x^{2}-1. Polinômios são funções contínuas em toda parte, logo x^{2}-1 é contínua em cada ponto com x<2.
  • Se x>2 então usamos a expressão x+3. Funções lineares são contínuas em toda parte, logo x+3 é contínua em cada ponto com x>2.
    Conclusão parcial: não há problema de continuidade em pontos estritamente menores que 2 nem em pontos estritamente maiores que 2. O único ponto a checar é x=2.

Passo 4

Verificar continuidade em x=2 calculando limites laterais e o valor da função.
  • Calcular o limite pela esquerda: \lim_{x\to 2^-} g(x)=\lim_{x\to 2^-} (x^{2}-1).Como x^{2}-1 é contínuo, basta substituir x=2: \lim_{x\to 2^-} g(x)=2^{2}-1=4-1=3.
  • Calcular o limite pela direita: \lim_{x\to 2^+} g(x)=\lim_{x\to 2^+} (x+3).Substituindo x=2 (pela continuidade da função linear): \lim_{x\to 2^+} g(x)=2+3=5.
  • Avaliar o valor da função em 2:
    como a definição diz \,g(x)=x^{2}-1 para x\le2, temos g(2)=2^{2}-1=3.
  • Comparando: \lim_{x\to 2^-} g(x)=3, \lim_{x\to 2^+} g(x)=5 e g(2)=3. Os limites laterais são diferentes ( 3\neq5), portanto \lim_{x\to 2} g(x) não existe. Logo g NÃO é contínua em x=2.
Classificação da descontinuidade: é uma descontinuidade do tipo salto (jump), pois os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes.

Passo 5

Analisar se é possível “tornar” g contínua em \mathbb{R} e como fazê‑lo.
  • Se a única mudança permitida for redefinir o valor de g em pontos isolados (por exemplo apenas em x=2), então NÃO é possível tornar g contínua em 2, porque não existe um único valor L que iguale simultaneamente os dois limites laterais (eles são 3 e 5). Ou seja, nenhum L satisfaz L=3 e L=5 ao mesmo tempo.
  • Se for permitido modificar a definição da função em um intervalo ou de um dos ramos (por exemplo redefinir o ramo para x>2), então é possível construir uma função contínua que coincida com g em pelo menos uma parte. Exemplos simples de funções contínuas que “estendem” g são: \tilde g(x)=x^{2}-1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},ou \hat g(x)=x+3\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.Ambas são contínuas em \mathbb{R}, mas cada uma altera a definição original em todo o intervalo (2,\infty) ou em (-\infty,2], respectivamente. Outra maneira seria escolher um ramo único que coincida com um dos lados no ponto 2 e estendê‑lo para todo \mathbb{R}; isso funciona, mas altera a função original em pelo menos um lado de 2.
Resumo prático:
  • Continuidade preservando os dois ramos tal como estão: impossível em x=2.
  • Tornar contínua apenas mudando o valor em x=2: impossível (limites laterais diferentes).
  • Tornar contínua permitindo mudar um dos ramos (ou ambos) é possível, por exemplo escolhendo g(x)=x^{2}-1 para todo x.

Resposta

g é contínua em \mathbb{R}\setminus\{2\} e é descontínua em x=2 (descontinuidade por salto).\nNão é possível torná‑la contínua em \mathbb{R} apenas redefinindo g(2) (os limites laterais em 2 são diferentes: 3 e 5).\nUma forma de obter uma função contínua em \mathbb{R} que coincida com g em um dos lados é, por exemplo, \tilde g(x)=x^{2}-1 para todo x\in\mathbb{R}.

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