Verifique se cada função abaixo é contínua em
. Se não for contínua, torne-a contínua em
, se possível.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para verificar se
é contínua em
. Se não for, pede para torná‑la contínua em
, se isso for possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função tem duas expressões:
para e para . - O possível ponto problemático é
, onde a definição muda de ramo. - A tarefa principal: determinar continuidade em todos os pontos de
e, se houver descontinuidade, verificar se é possível corrigir (tornar contínua) e como.]
Passo 2
Definição e ideia prática de continuidade (passo a passo, sem pular passos).
- Intuitivamente: uma função é contínua em um ponto quando não há “salto” ou “buraco”: o valor da função nesse ponto coincide com o valor para o qual os valores próximos da variável tendem.
- Formalmente, para um ponto
dizemos que é contínua em se valem simultaneamente: existem e são todos iguais. Resumindo: - Aqui
é o limite pela esquerda (quando se aproxima de com ) e é o limite pela direita (quando ). Para funções dadas por partes, os dois devem coincidir em para que a função tenha limite em .
Passo 3
Verificar continuidade para
.
- Se
então usamos a expressão . Polinômios são funções contínuas em toda parte, logo é contínua em cada ponto com . - Se
então usamos a expressão . Funções lineares são contínuas em toda parte, logo é contínua em cada ponto com .
Conclusão parcial: não há problema de continuidade em pontos estritamente menores quenem em pontos estritamente maiores que . O único ponto a checar é .
Passo 4
Verificar continuidade em
calculando limites laterais e o valor da função.
- Calcular o limite pela esquerda:
Como é contínuo, basta substituir : - Calcular o limite pela direita:
Substituindo (pela continuidade da função linear): - Avaliar o valor da função em
:
como a definição dizpara , temos - Comparando:
, e . Os limites laterais são diferentes ( ), portanto não existe. Logo NÃO é contínua em .
Classificação da descontinuidade: é uma descontinuidade do tipo salto (jump), pois os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes.
Passo 5
Analisar se é possível “tornar”
contínua em
e como fazê‑lo.
- Se a única mudança permitida for redefinir o valor de
em pontos isolados (por exemplo apenas em ), então NÃO é possível tornar contínua em , porque não existe um único valor que iguale simultaneamente os dois limites laterais (eles são e ). Ou seja, nenhum satisfaz e ao mesmo tempo. - Se for permitido modificar a definição da função em um intervalo ou de um dos ramos (por exemplo redefinir o ramo para
), então é possível construir uma função contínua que coincida com em pelo menos uma parte. Exemplos simples de funções contínuas que “estendem” são: ou Ambas são contínuas em , mas cada uma altera a definição original em todo o intervalo ou em , respectivamente. Outra maneira seria escolher um ramo único que coincida com um dos lados no ponto e estendê‑lo para todo ; isso funciona, mas altera a função original em pelo menos um lado de .
Resumo prático:
- Continuidade preservando os dois ramos tal como estão: impossível em
. - Tornar contínua apenas mudando o valor em
: impossível (limites laterais diferentes). - Tornar contínua permitindo mudar um dos ramos (ou ambos) é possível, por exemplo escolhendo
para todo .