Questão 6
Considere a função
, definida no domínio
Determine os pontos de máximo e mínimo de
no domínio
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio
ou seja, um retângulo fechado em
. A tarefa é: determinar os pontos de máximo e os pontos de mínimo de
no domínio
. Informações relevantes que já temos explicitamente:
- A fórmula explícita de
. - O domínio
é o retângulo fechado com vértices . - Como
é fechado e limitado e é polinomial (logo contínua), sabemos que atinge máximo e mínimo absolutos em .
Nenhuma outra informação (figura ou tabela) é necessária.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para encontrar extremos em um domínio fechado rectangular, procedemos assim:
- Procurar pontos críticos interiores resolvendo
. - Classificar o ponto crítico (se for interior) usando a matriz Hessiana.
- Analisar as quatro arestas do retângulo (cada aresta é um problema unidimensional): restringir
à aresta, achar extremos (derivada zero) e avaliar também nos extremos da aresta (os vértices do retângulo). - Comparar os valores de
em todos os candidatos (pontos críticos interiores, pontos críticos nas arestas e vértices) para decidir o máximo e o mínimo absolutos.
Agora vamos executar esse plano passo a passo.
Passo 3
Calcular os derivados parciais e encontrar pontos críticos interiores. Derivadas parciais de
:
Para pontos críticos interiores resolvemos o sistema
Resolvendo cada equação:
Assim existe exatamente um ponto crítico interior:
. Esse ponto pertence ao domínio
porque
e
.
Passo 4
Classificar o ponto crítico
usando a matriz Hessiana. As segundas derivadas são:
A matriz Hessiana é
Esta matriz tem autovalores
e
, ambos negativos, então
é definida negativa. Portanto o ponto crítico
é um ponto de máximo local. Como próximo passo vamos calcular o valor de
ali.]
Passo 5
Avaliar
no ponto crítico interior:
Logo
.
Passo 6
Analisar a aresta
(com
). Na aresta a função reduz para função unidimensional
Calcule a derivada:
Zerando:
, que está no intervalo
. Avaliamos
em
e nos extremos
:
Portanto, na aresta
o máximo local/valor é
em
e o mínimo na aresta é
em
.
Passo 7
Analisar a aresta
(com
). Restrição:
Derivada:
Zerando:
também está no intervalo. Avaliamos:
Na aresta
o maior valor é
em
e o menor é
em
.
Passo 8
Analisar a aresta
(com
). Restrição:
Derivada:
Zerando:
, que está em
. Avaliamos:
Na aresta
o máximo é
em
e o mínimo é
em
(já encontrado).
Passo 9
Analisar a aresta
(com
). Restrição:
Derivada:
Zerando:
novamente está no intervalo. Avaliamos:
Na aresta
o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Passo 10
Reunir todos os candidatos e comparar valores de
.
Candidatos e seus valores encontrados:
Candidatos e seus valores encontrados:
O maior valor entre esses é
em
. O menor valor é
em
.
Resposta
Máximo absoluto:
com
.
Mínimo absoluto: com
.
Mínimo absoluto: