Questão 6

Considere a função f(x, y)=4 x+6 y-x^{2}-y^{2}, definida no domínio
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 5,0 \leq y \leq 4\} .
Determine os pontos de máximo e mínimo de f no domínio D.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x+6y-x^{2}-y^{2}
definida no domínio
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le5,\;0\le y\le4\},
ou seja, um retângulo fechado em \mathbb{R}^{2}. A tarefa é: determinar os pontos de máximo e os pontos de mínimo de f no domínio D. Informações relevantes que já temos explicitamente:
  • A fórmula explícita de f.
  • O domínio D é o retângulo fechado com vértices (0,0),(5,0),(5,4),(0,4).
  • Como D é fechado e limitado e f é polinomial (logo contínua), sabemos que f atinge máximo e mínimo absolutos em D.
Nenhuma outra informação (figura ou tabela) é necessária.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para encontrar extremos em um domínio fechado rectangular, procedemos assim:
  1. Procurar pontos críticos interiores resolvendo \nabla f=0.
  2. Classificar o ponto crítico (se for interior) usando a matriz Hessiana.
  3. Analisar as quatro arestas do retângulo (cada aresta é um problema unidimensional): restringir f à aresta, achar extremos (derivada zero) e avaliar também nos extremos da aresta (os vértices do retângulo).
  4. Comparar os valores de f em todos os candidatos (pontos críticos interiores, pontos críticos nas arestas e vértices) para decidir o máximo e o mínimo absolutos.
Agora vamos executar esse plano passo a passo.

Passo 3

Calcular os derivados parciais e encontrar pontos críticos interiores. Derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=4-2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=6-2y.
Para pontos críticos interiores resolvemos o sistema
4-2x=0,\qquad 6-2y=0.
Resolvendo cada equação:
4-2x=0 \implies x=2, \qquad 6-2y=0 \implies y=3.
Assim existe exatamente um ponto crítico interior: (2,3). Esse ponto pertence ao domínio D porque 0\le2\le5 e 0\le3\le4.

Passo 4

Classificar o ponto crítico (2,3) usando a matriz Hessiana. As segundas derivadas são:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Esta matriz tem autovalores -2 e -2, ambos negativos, então H é definida negativa. Portanto o ponto crítico (2,3) é um ponto de máximo local. Como próximo passo vamos calcular o valor de f ali.]

Passo 5

Avaliar f no ponto crítico interior:
f(2,3)=4\cdot 2 + 6\cdot 3 - 2^{2} - 3^{2} = 8 + 18 - 4 - 9 = 13.
Logo f(2,3)=13.

Passo 6

Analisar a aresta x=0 (com 0\le y\le4). Na aresta a função reduz para função unidimensional
g_{1}(y)=f(0,y)=6y-y^{2}.
Calcule a derivada:
g_{1}'(y)=6-2y.
Zerando: 6-2y=0\implies y=3, que está no intervalo [0,4]. Avaliamos g_{1} em y=3 e nos extremos y=0,4:
f(0,3)=6\cdot3-3^{2}=18-9=9, \quad f(0,0)=0, \quad f(0,4)=24-16=8.
Portanto, na aresta x=0 o máximo local/valor é 9 em (0,3) e o mínimo na aresta é 0 em (0,0).

Passo 7

Analisar a aresta x=5 (com 0\le y\le4). Restrição:
g_{2}(y)=f(5,y)=4\cdot5+6y-5^{2}-y^{2}=20+6y-25-y^{2}=-y^{2}+6y-5.
Derivada:
g_{2}'(y)=6-2y.
Zerando: y=3 também está no intervalo. Avaliamos:
f(5,3)=-9+18-5=4 \quad\text{(ou diretamente }20+18-25-9=4\text{)},
f(5,0)=20-25=-5,
f(5,4)=20+24-25-16=3.
Na aresta x=5 o maior valor é 4 em (5,3) e o menor é -5 em (5,0).

Passo 8

Analisar a aresta y=0 (com 0\le x\le5). Restrição:
h_{1}(x)=f(x,0)=4x-x^{2}.
Derivada:
h_{1}'(x)=4-2x.
Zerando: 4-2x=0\implies x=2, que está em [0,5]. Avaliamos:
f(2,0)=8-4=4, \quad f(0,0)=0, \quad f(5,0)=20-25=-5.
Na aresta y=0 o máximo é 4 em (2,0) e o mínimo é -5 em (5,0) (já encontrado).

Passo 9

Analisar a aresta y=4 (com 0\le x\le5). Restrição:
h_{2}(x)=f(x,4)=4x+24-x^{2}-16=4x-x^{2}+8.
Derivada:
h_{2}'(x)=4-2x.
Zerando: x=2 novamente está no intervalo. Avaliamos:
f(2,4)=8+24-4-16=12, \quad f(0,4)=8, \quad f(5,4)=20+24-25-16=3.
Na aresta y=4 o máximo é 12 em (2,4) e o mínimo é 3 em (5,4).

Passo 10

Reunir todos os candidatos e comparar valores de f.
Candidatos e seus valores encontrados:
(2,3): f=13 \quad\text{(ponto crítico interior)},í
(0,3): f=9,\quad (2,4): f=12,\quad (2,0): f=4,\quad (5,3): f=4,
(0,0): f=0,\quad (0,4): f=8,\quad (5,4): f=3,\quad (5,0): f=-5.
O maior valor entre esses é 13 em (2,3). O menor valor é -5 em (5,0).

Resposta

Máximo absoluto: (2,3) com f(2,3)=13.
Mínimo absoluto: (5,0) com f(5,0)=-5.

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