Questão 7 - Entregar

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D, onde f(x, y)=x-y+ x y e D é a região triangular fechada com vértices (0,0),(0,2) e (4,0).

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos\n
  • Pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.\n
  • Função dada: f(x,y)=x-y+xy.\n
  • Região D: triângulo fechado com vértices \left(0,0\right), \left(0,2\right) e \left(4,0\right).\n
  • Informações úteis sobre D que vamos usar: os pontos em D satisfazem 0\le x\le 4 e 0\le y\le 2-\tfrac{x}{2}. Os lados do triângulo são: segmento A entre \left(0,0\right) e \left(0,2\right) (vertical), segmento B entre \left(0,0\right) e \left(4,0\right) (horizontal) e segmento C entre \left(0,2\right) e \left(4,0\right) (a hipotenusa inclinada).\n
  • Observação: o enunciado pede os extremos absolutos (globais) de f restrita a D.\n

Passo 2

Estratégia geral (por que e o que vamos checar)\n
  • Como f é um polinômio em x,y, f é contínua. O conjunto D é compacto (fechado e limitado). Pelo fato de f ser contínua em um conjunto compacto, f atinge máximo e mínimo absolutos em D. Isso significa que devemos procurar:\n
    1. pontos críticos no interior de D (onde o gradiente é zero), e\n
    2. pontos extremos sobre as fronteiras do triângulo (cada aresta), incluindo os vértices.\n
  • Então vamos primeiro procurar possíveis pontos críticos no interior e, depois, estudar cada aresta separadamente. Essa é a estratégia padrão para encontrar extremos absolutos em domínios fechados e limitados.

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior de D\n
  • Calculamos as derivadas parciais de f:\n
\frac{\partial f}{\partial x}=1+y,\n
\frac{\partial f}{\partial y}=-1+x.\n
  • Um ponto crítico satisfaz \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Resolver o sistema:\n
1+y=0,\qquad -1+x=0.\n
  • Daí obtemos y=-1 e x=1, isto é, o ponto crítico é \left(1,-1\right).\n
  • Verificação de interior: \left(1,-1\right) tem y=-1, que é fora do triângulo D (em D temos y\ge 0). Portanto não há pontos críticos do interior dentro de D.\n
  • Conclusão deste passo: não existem pontos críticos interiores que precisem ser considerados — os extremos devem ocorrer na fronteira de D.

Passo 4

Analisar a aresta A: x=0, 0\le y\le 2\n
  • Restrinja f a essa aresta: \displaystyle f(0,y)=0-y+0\cdot y=-y.\n
  • A função g(y)=-y é linear decrescente no intervalo 0\le y\le 2. Logo:\n
    • máximo em y=0: f(0,0)=0,\n
    • mínimo em y=2: f(0,2)=-2.\n
  • Anote os candidatos obtidos aqui: \left(0,0\right) com f=0 e \left(0,2\right) com f=-2.

Passo 5

Analisar a aresta B: y=0, 0\le x\le 4\n
  • Restrinja f a essa aresta: \displaystyle f(x,0)=x-0+x\cdot 0=x.\n
  • A função h(x)=x é crescente em 0\le x\le 4. Logo:\n
    • mínimo em x=0: f(0,0)=0 (já visto),\n
    • máximo em x=4: f(4,0)=4.\n
  • Anote o candidato obtido aqui: \left(4,0\right) com f=4.

Passo 6

Analisar a aresta C (entre \left(0,2\right) e \left(4,0\right))\n
  • Equação da reta que liga \left(0,2\right) a \left(4,0\right): \displaystyle y=2-\frac{x}{2}, com 0\le x\le 4. (Peguei essa equação da geometria dos vértices dados.)\n
  • Restrinja f a essa aresta substituindo y:\n
f\bigl(x,\,2-\tfrac{x}{2}\bigr)=x-\Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)+x\Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr).\n
  • Simplificando passo a passo:\n
    • x-\Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)=x-2+\tfrac{x}{2}=\tfrac{3}{2}x-2,\n
    • x\Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)=2x-\tfrac{x^{2}}{2},\n
    • somando as duas partes:\n f\bigl(x,\,2-\tfrac{x}{2}\bigr)=\tfrac{3}{2}x-2+2x-\tfrac{x^{2}}{2}=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{7}{2}x-2.\n
  • Temos uma parábola (concavidade para baixo, coeficiente de x^{2} negativo). Para encontrar máximos/minimos no intervalo [0,4] procuramos a derivada:\n
\frac{d}{dx}\bigl(f(x,2-\tfrac{x}{2})\bigr)=-x+\tfrac{7}{2}.\n
  • Zere a derivada para achar crítico: -x+\tfrac{7}{2}=0\Rightarrow x=\tfrac{7}{2}=3{,}5. Esse x pertence ao intervalo [0,4], logo é candidato.\n
  • Calcule y correspondente: y=2-\tfrac{x}{2}=2-\tfrac{7}{4}=\tfrac{1}{4}. Então o ponto candidato é \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\bigr).\n
  • Calcule o valor de f nesse ponto usando a forma simplificada da parábola (ou diretamente na definição):\n
f\Bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\Bigr)=-\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^{2}+\tfrac{7}{2}\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)-2=\tfrac{33}{8}.\n
  • Também avalie a parábola nos extremos do intervalo x=0 e x=4 (esses correspondem aos vértices já considerados):\n
    • x=0\Rightarrow f(0,2)=-2,\n
    • x=4\Rightarrow f(4,0)=4.\n
  • Resumo dos candidatos desta aresta: \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\bigr) com f=\tfrac{33}{8}, e os extremos (0,2) e (4,0) com f=-2 e f=4 respectivamente.

Passo 7

Comparar todos os valores candidatos e concluir\n
  • Lista de todos os valores que encontramos:\n
    • \bigl(0,2\bigr): f=-2.\n
    • \bigl(0,0\bigr): f=0.\n
    • \bigl(4,0\bigr): f=4.\n - \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\bigr): f=\tfrac{33}{8}=4{,}125.\n
  • Comparando, o maior valor é \tfrac{33}{8} obtido em \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\bigr) e o menor é -2 obtido em \bigl(0,2\bigr).\n
  • Portanto:\n - máximo absoluto de f em D é \tfrac{33}{8} em \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\bigr),\n - mínimo absoluto de f em D é -2 em \bigl(0,2\bigr).

Resposta

Máximo absoluto: \max_{D}f=\tfrac{33}{8} atingido em \left(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\right).\n
Mínimo absoluto: \min_{D}f=-2 atingido em \left(0,2\right).

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