Questão 7 - Entregar
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
e
é a região triangular fechada com vértices
e
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos\n
- Pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto .\n - Função dada:
.\n - Região
: triângulo fechado com vértices , e .\n - Informações úteis sobre
que vamos usar: os pontos em satisfazem e . Os lados do triângulo são: segmento entre e (vertical), segmento entre e (horizontal) e segmento entre e (a hipotenusa inclinada).\n - Observação: o enunciado pede os extremos absolutos (globais) de
restrita a .\n
Passo 2
Estratégia geral (por que e o que vamos checar)\n
- Como
é um polinômio em , é contínua. O conjunto é compacto (fechado e limitado). Pelo fato de ser contínua em um conjunto compacto, atinge máximo e mínimo absolutos em . Isso significa que devemos procurar:\n - pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é zero), e\n - pontos extremos sobre as fronteiras do triângulo (cada aresta), incluindo os vértices.\n
- pontos críticos no interior de
- Então vamos primeiro procurar possíveis pontos críticos no interior e, depois, estudar cada aresta separadamente. Essa é a estratégia padrão para encontrar extremos absolutos em domínios fechados e limitados.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de
\n
- Calculamos as derivadas parciais de
:\n
- Um ponto crítico satisfaz
e . Resolver o sistema:\n
- Daí obtemos
e , isto é, o ponto crítico é .\n - Verificação de interior:
tem , que é fora do triângulo (em temos ). Portanto não há pontos críticos do interior dentro de .\n - Conclusão deste passo: não existem pontos críticos interiores que precisem ser considerados — os extremos devem ocorrer na fronteira de
.
Passo 4
Analisar a aresta
:
,
\n
- Restrinja
a essa aresta: .\n - A função
é linear decrescente no intervalo . Logo:\n - máximo em
: ,\n - mínimo em
: .\n
- máximo em
- Anote os candidatos obtidos aqui:
com e com .
Passo 5
Analisar a aresta
:
,
\n
- Restrinja
a essa aresta: .\n - A função
é crescente em . Logo:\n - mínimo em
: (já visto),\n - máximo em
: .\n
- mínimo em
- Anote o candidato obtido aqui:
com .
Passo 6
Analisar a aresta
(entre
e
)\n
- Equação da reta que liga
a : , com . (Peguei essa equação da geometria dos vértices dados.)\n - Restrinja
a essa aresta substituindo :\n
- Simplificando passo a passo:\n
-
,\n -
,\n - somando as duas partes:\n
\n
-
- Temos uma parábola (concavidade para baixo, coeficiente de
negativo). Para encontrar máximos/minimos no intervalo procuramos a derivada:\n
- Zere a derivada para achar crítico:
. Esse pertence ao intervalo , logo é candidato.\n - Calcule
correspondente: . Então o ponto candidato é .\n - Calcule o valor de
nesse ponto usando a forma simplificada da parábola (ou diretamente na definição):\n
- Também avalie a parábola nos extremos do intervalo
e (esses correspondem aos vértices já considerados):\n -
,\n -
.\n
-
- Resumo dos candidatos desta aresta:
com , e os extremos e com e respectivamente.
Passo 7
Comparar todos os valores candidatos e concluir\n
- Lista de todos os valores que encontramos:\n
-
: .\n -
: .\n -
: .\n - : .\n
-
- Comparando, o maior valor é
obtido em e o menor é obtido em .\n - Portanto:\n - máximo absoluto de
em é em ,\n - mínimo absoluto de em é em .
Resposta
Máximo absoluto:
atingido em
.\n
Mínimo absoluto: atingido em
.
Mínimo absoluto: