Questão 3 - Entregar

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y-6 x^{2}-6 y^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função, caso existam.”
A função dada é
f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y-6x^{2}-6y^{2}+2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Função }f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y-6x^{2}-6y^{2}+2.çã
Perguntas a responder:
  1. Quais são os pontos críticos onde \nabla f=0?
  2. Em cada ponto crítico, é máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
  3. Se for máximo ou mínimo, qual o valor de f nesse ponto?

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de f. Essas derivadas nos dizem a inclinação da superfície no sentido das variáveis x e y.
Derivamos termo a termo:
  • Derivada parcial em relação a x: a única dependência de x aparece em 3x^{2}y e em -6x^{2}. Então
\frac{\partial f}{\partial x}=6xy-12x.
Podemos fatorar:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x(y-2).
  • Derivada parcial em relação a y: derivando y^{3} 3y^{2}; derivando 3x^{2}y em y 3x^{2}; derivando -6y^{2} -12y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+3x^{2}-12y.
Essas duas informações formam o gradiente \nabla f=(f_x,f_y).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos significa resolver o sistema \nabla f=0\), ou seja: \[\begin{cases} 6x(y-2)=0,\\[4pt] 3y^{2}+3x^{2}-12y=0. \end{cases}
Simplifico dividindo por constantes quando possível.
Da primeira equação 6x(y-2)=0\] temos duas possibilidades: \(\,x=0 ,ou, y=2.
Caso x=0: substituo na segunda equação:
3y^{2}-12y=0 \quad\Rightarrow\quad 3y(y-4)=0,
logo y=0 ou y=4. Obtém-se os pontos (0,0) e (0,4).
Caso y=2: substituo na segunda equação:
3\cdot 2^{2}+3x^{2}-12\cdot 2=0 \quad\Rightarrow\quad 12+3x^{2}-24=0
\Rightarrow\quad 3x^{2}-12=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Obtém-se os pontos (2,2) e (-2,2).
Portanto, os pontos críticos são
(0,0),\quad (0,4),\quad (2,2),\quad (-2,2).]

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico. Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Explicação didática do teste:
  • Calcule as segundas derivadas parciais: f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.Essas quantidades descrevem a curvatura da superfície em direções coordenadas.
  • Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto: D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Regras de classificação no ponto crítico:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo local.
    • Se D<0 então temos ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar exatamente isso passo a passo.

Passo 5

Calculo as segundas derivadas explicitamente:
Partindo de f_x=6x(y-2),
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(6x(y-2)\big)=6(y-2).
Derivando f_x em y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(6x(y-2)\big)=6x.
A partir de f_y=3y^{2}+3x^{2}-12y,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}+3x^{2}-12y\big)=6y-12=6(y-2).
Observe que f_{xx}=f_{yy}=6(y-2) e f_{xy}=6x. Portanto o discriminante é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = \big(6(y-2)\big)^{2} - (6x)^{2}.
Fatorando 36:
D = 36\big((y-2)^{2}-x^{2}\big).

Passo 6

Classifico o ponto crítico (0,0).
  • Primeiro calcule as segundas derivadas no ponto: f_{xx}(0,0)=6(0-2)=-12,\quad f_{xy}(0,0)=6\cdot 0=0,\quad f_{yy}(0,0)=-12.
  • O discriminante: D(0,0)=(-12)(-12)-0^{2}=144>0.
  • Como D>0 e f_{xx}(0,0)=-12<0, isso implica que (0,0) é um máximo local.
  • Valor da função em (0,0): f(0,0)=0^{3}+3\cdot 0^{2}\cdot 0-6\cdot 0^{2}-6\cdot 0^{2}+2=2.
Conclusão: (0,0) é máximo local com f(0,0)=2.

Passo 7

Classifico o ponto crítico (0,4).
  • Segundas derivadas no ponto: f_{xx}(0,4)=6(4-2)=12,\quad f_{xy}(0,4)=6\cdot 0=0,\quad f_{yy}(0,4)=12.
  • Discriminante: D(0,4)=12\cdot 12 - 0^{2}=144>0.
  • Como D>0 e f_{xx}(0,4)=12>0, isso implica que (0,4) é mínimo local.
  • Valor da função em (0,4): f(0,4)=4^{3}+0-0-6\cdot 4^{2}+2=64-96+2=-30.
Conclusão: (0,4) é mínimo local com f(0,4)=-30.

Passo 8

Classifico o ponto crítico (2,2).
  • Segundas derivadas no ponto: f_{xx}(2,2)=6(2-2)=0,\quad f_{xy}(2,2)=6\cdot 2=12,\quad f_{yy}(2,2)=0.
  • Discriminante: D(2,2)=0\cdot 0 - 12^{2}=-144<0.
  • Como D<0, isso indica que (2,2) é ponto de sela.
  • Valor da função em (2,2): f(2,2)=2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot 2-6\cdot 2^{2}-6\cdot 2^{2}+2=8+24-24-24+2=-14.
Conclusão: (2,2) é ponto de sela com f(2,2)=-14.

Passo 9

Classifico o ponto crítico (-2,2).
  • Segundas derivadas no ponto: f_{xx}(-2,2)=6(2-2)=0,\quad f_{xy}(-2,2)=6\cdot(-2)=-12,\quad f_{yy}(-2,2)=0.
  • Discriminante: D(-2,2)=0\cdot 0 - (-12)^{2}=-144<0.
  • Como D<0, (-2,2) é ponto de sela.
  • Valor da função em (-2,2): como depende só de x^{2} em muitos termos, será igual ao caso (2,2): f(-2,2)=-14.
Conclusão: (-2,2) é ponto de sela com f(-2,2)=-14.

Passo 10

Resumo final das classificações (já calculadas). Pequeno motivador: você conseguiu listar todos os pontos críticos, calcular segundas derivadas, aplicar o teste do discriminante e obter a natureza de cada ponto — é exatamente o que a prova costuma pedir. Se ficar nervoso na hora, lembre: primeiro gradiente zero, depois Hessiana e o sinal de D e de f_{xx}.

Resposta

(0,0): máximo local, f(0,0)=2
(0,4): mínimo local, f(0,4)=-30
(2,2): ponto de sela, f(2,2)=-14
(-2,2): ponto de sela, f(-2,2)=-14

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