Questão 3 - Entregar
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função, caso existam.”
A função dada é
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Perguntas a responder:
- Quais são os pontos críticos onde
? - Em cada ponto crítico, é máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
- Se for máximo ou mínimo, qual o valor de
nesse ponto?
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de
. Essas derivadas nos dizem a inclinação da superfície no sentido das variáveis
e
.
Derivamos termo a termo:
Derivamos termo a termo:
- Derivada parcial em relação a
: a única dependência de aparece em e em . Então
Podemos fatorar:
- Derivada parcial em relação a
: derivando dá ; derivando em dá ; derivando dá . Assim
Essas duas informações formam o gradiente
.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos significa resolver o sistema
Simplifico dividindo por constantes quando possível.
Da primeira equação
,ou,
.
Caso
: substituo na segunda equação:
logo
ou
. Obtém-se os pontos
e
.
Caso
: substituo na segunda equação:
Obtém-se os pontos
e
.
Portanto, os pontos críticos são
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto crítico. Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Explicação didática do teste:
- Calcule as segundas derivadas parciais:
Essas quantidades descrevem a curvatura da superfície em direções coordenadas. - Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto:
- Regras de classificação no ponto crítico:
- Se
e então temos mínimo local. - Se
e então temos máximo local. - Se
então temos ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vou aplicar exatamente isso passo a passo.
Passo 5
Calculo as segundas derivadas explicitamente:
Partindo de
,
Derivando
em
:
A partir de
,
Observe que
e
. Portanto o discriminante é
Fatorando
:
Passo 6
Classifico o ponto crítico
.
- Primeiro calcule as segundas derivadas no ponto:
- O discriminante:
- Como
e , isso implica que é um máximo local. - Valor da função em
:
Conclusão:
é máximo local com
.
Passo 7
Classifico o ponto crítico
.
- Segundas derivadas no ponto:
- Discriminante:
- Como
e , isso implica que é mínimo local. - Valor da função em
:
Conclusão:
é mínimo local com
.
Passo 8
Classifico o ponto crítico
.
- Segundas derivadas no ponto:
- Discriminante:
- Como
, isso indica que é ponto de sela. - Valor da função em
:
Conclusão:
é ponto de sela com
.
Passo 9
Classifico o ponto crítico
.
- Segundas derivadas no ponto:
- Discriminante:
- Como
, é ponto de sela. - Valor da função em
: como depende só de em muitos termos, será igual ao caso :
Conclusão:
é ponto de sela com
.
Passo 10
Resumo final das classificações (já calculadas). Pequeno motivador: você conseguiu listar todos os pontos críticos, calcular segundas derivadas, aplicar o teste do discriminante e obter a natureza de cada ponto — é exatamente o que a prova costuma pedir. Se ficar nervoso na hora, lembre: primeiro gradiente zero, depois Hessiana e o sinal de
e de
.