Questão 5. Considere a função definida por
. Determine o conjunto em
onde
é holomorfa.
Passo 1
O enunciado define
onde
. Queremos (1) determinar onde essas séries convergem e (2) ver em que região, se houver,
é holomorfa, isto é, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em um aberto de
.
Passo 2
Cada série é geométrica. Sabemos que
converge se, e somente se,
, e
converge se, e somente se,
. Logo o domínio de definição natural de
é
Passo 3
Dentro de
podemos somar as séries e obter formas fechadas:
Assim
Passo 4
Para verificar holomorfia aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
Calculamos as derivadas parciais:
A segunda equação
dá
, sempre satisfeita. A primeira exige
Passo 5
Da igualdade
segue
isto é, ou
ou
. No retângulo
a única possibilidade interior é
, pois
está fora (só ocorre no ponto de fronteira
).
Passo 6
O conjunto onde as equações de Cauchy-Riemann se satisfazem é, portanto,
que é a reta diagonal dentro do quadrado
. Mas essa reta não é um aberto em
, e holomorfia exige validade numa vizinhança aberta.
Resposta
A função é definida em
, mas não é holomorfa em nenhum aberto desse domínio. As equações de Cauchy-Riemann só se satisfazem na linha
, que não forma uma região aberta em
.