Questão 5. Considere a função definida por f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}+i \sum_{n=0}^{\infty} y^{n}. Determine o conjunto em \mathbb{C} onde f é holomorfa.

Passo 1

O enunciado define
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}+i\sum_{n=0}^{\infty}y^{n},
onde z=x+iy. Queremos (1) determinar onde essas séries convergem e (2) ver em que região, se houver, f é holomorfa, isto é, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em um aberto de \mathbb{C}.

Passo 2

Cada série é geométrica. Sabemos que
\sum_{n=0}^\infty x^n
converge se, e somente se, \lvert x\rvert<1, e
\sum_{n=0}^\infty y^n
converge se, e somente se, \lvert y\rvert<1. Logo o domínio de definição natural de f é
D = \{\,z=x+iy\in\mathbb{C}\mid \lvert x\rvert<1,\\ \lvert y\rvert<1\}.

Passo 3

Dentro de D podemos somar as séries e obter formas fechadas:
\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac1{1-x}, \qquad \sum_{n=0}^\infty y^n = \frac1{1-y}.
Assim
f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) \quad\text{com}\quad u(x,y)=\frac1{1-x}, \quad v(x,y)=\frac1{1-y}.

Passo 4

Para verificar holomorfia aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
u_x = v_y, \qquad u_y = -\,v_x.
Calculamos as derivadas parciais:
u_x = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad u_y = 0, \quad v_y = \frac{1}{(1-y)^2}, \quad v_x = 0.
A segunda equação u_y=-v_x 0=0, sempre satisfeita. A primeira exige
\frac1{(1-x)^2} = \frac1{(1-y)^2} \quad\Longleftrightarrow\quad (1-x)^2=(1-y)^2.

Passo 5

Da igualdade (1-x)^2=(1-y)^2 segue
1-x = \pm(1-y),
isto é, ou x=y ou x+y=2. No retângulo \lvert x\rvert<1,\lvert y\rvert<1 a única possibilidade interior é x=y, pois x+y=2 está fora (só ocorre no ponto de fronteira x=y=1).

Passo 6

O conjunto onde as equações de Cauchy-Riemann se satisfazem é, portanto,
\{\,z=x+iy\in D\mid x=y\},
que é a reta diagonal dentro do quadrado \lvert x\rvert<1,\lvert y\rvert<1. Mas essa reta não é um aberto em \mathbb{C}, e holomorfia exige validade numa vizinhança aberta.

Resposta

A função é definida em \{z\in\mathbb{C}\mid |\,\Re z\,|<1,\;|\,\Im z\,|<1\}, mas não é holomorfa em nenhum aberto desse domínio. As equações de Cauchy-Riemann só se satisfazem na linha x=y, que não forma uma região aberta em \mathbb{C}.

Exercícios relacionados