Questão 3. Vimos que a função exponencial é analítica em todo plano complexo e que f^{\prime}(z)=f(z) \operatorname{com} f(0)=1. Prove que existe uma e só função satisfazendo essas condições, de forma que a função exponencial pode ser por elas definidas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe uma e só uma função analítica f em \mathbb{C} que satisfaz
f'(z)=f(z)\quad\text{e}\quad f(0)=1,
ou seja, provar existência e unicidade da solução dessa equação diferencial analítica.
Passo 2
Como f é analítica em torno de 0, ela tem expansão em série de potências
Para unicidade, suponha g também analítica com g'=g e g(0)=1. Então h=f-g é analítica, satisfaz h'=h e h(0)=0. Pelos mesmos cálculos de série temos todos os coeficientes de h nulos, logo h\equiv0 e g=f.
Resposta
A única função que satisfaz f'(z)=f(z) e f(0)=1 é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},
que coincide com a função exponencial usual \exp(z).