Questão 3. Vimos que a função exponencial é analítica em todo plano complexo e que f^{\prime}(z)=f(z) \operatorname{com} f(0)=1. Prove que existe uma e só função satisfazendo essas condições, de forma que a função exponencial pode ser por elas definidas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma e só uma função analítica f em \mathbb{C} que satisfaz
f'(z)=f(z)\quad\text{e}\quad f(0)=1,
ou seja, provar existência e unicidade da solução dessa equação diferencial analítica.

Passo 2

Como f é analítica em torno de 0, ela tem expansão em série de potências
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,z^n.
Então
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,z^{n-1} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,a_{m+1}\,z^m.
A condição f'(z)=f(z) implica igualar coeficientes de z^m:
(m+1)\,a_{m+1}=a_m \quad\Longrightarrow\quad a_{m+1}=\frac{a_m}{m+1}.
Como f(0)=a_0=1, por indução segue-se
a_n=\frac{1}{n!} \quad\text{para todo }n\ge0.
Assim qualquer solução analítica deve ser
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.

Passo 3

Mostramos que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}
converge para todo z\in\mathbb{C} pelo critério da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{\,z^n/n!\,}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0<1.
Logo define uma função inteira (analítica no plano todo).

Passo 4

Verificamos que ela satisfaz as condições: ao derivar termo a termo,
\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} =\sum_{n=1}^\infty\frac{n\,z^{n-1}}{n!} =\sum_{m=0}^\infty\frac{z^m}{m!} =f(z),
e claramente f(0)=1.

Passo 5

Para unicidade, suponha g também analítica com g'=g e g(0)=1. Então h=f-g é analítica, satisfaz h'=h e h(0)=0. Pelos mesmos cálculos de série temos todos os coeficientes de h nulos, logo h\equiv0 e g=f.

Resposta

A única função que satisfaz f'(z)=f(z) e f(0)=1 é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},
que coincide com a função exponencial usual \exp(z).

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