Questão 4. Determine o maior subconjunto de \mathbb{C} onde as função f(z)=\frac{\bar{z}}{\left|z^{2}\right|} é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de \mathbb{C} onde
f(z)=\frac{\bar z}{\lvert z^2\rvert}
é complexamente diferenciável. O conteúdo que vamos usar é a simplificação de módulos e a propriedade de que a função 1/z é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 2

Para z\neq0 temos
\lvert z^2\rvert = \lvert z\rvert^2 = z\,\bar z,
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f(z)=\frac{\bar z}{\lvert z\rvert^2} =\frac{\bar z}{z\,\bar z} =\frac1z.
Portanto, sempre que z\neq0, f(z)=1/z.

Passo 3

Sabemos que a função
g(z)=\frac1z
é holomorfa (complexamente diferenciável) em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}. Como f coincide com g em seu domínio de definição, f é diferenciável exatamente em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{C}\setminus\{0\}

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