Questão 3: Considere a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{b \operatorname{sen}(x)}{3 x} & , \text { se } & x<0, \\\ a\left(x^{2}-1\right) & , \text { se } & 0 \leq x<2, \\\ x+a & , \text { se } & x \geq 2 .\end{array}\right.
(10Pts) (a) Determine \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)
(10Pts) (b) Determine \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
(10Pts) (c) Apresente condições sobre a, b \in \mathbb{R} para que f seja contínua em \mathbb{R} SOLUÇÃO:

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados. A função é
f(x)=\begin{cases} \dfrac{b\operatorname{sen}(x)}{3x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] a\left(x^{2}-1\right), & \text{se } 0\le x<2,\\[6pt] x+a, & \text{se } x\ge 2. \end{cases}
O enunciado faz três perguntas:
(a) Determinar \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x).
(b) Determinar \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x).
(c) Encontrar condições sobre a,b\in\mathbb{R} para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações úteis dadas no enunciado:
  • Para x<0: f(x)=\dfrac{b\operatorname{sen}(x)}{3x}.
  • Para 0\le x<2: f(x)=a(x^{2}-1).
  • Para x\ge2: f(x)=x+a.
    Nada mais foi fornecido; vamos usar limites e a definição de continuidade para responder.]

Passo 2

Calcular \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x).
Primeiro recorde importante (resultado padrão de limites): \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Breve justificativa desse resultado (intuição): para x pequeno e positivo existe a desigualdade \cos x \le \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\le 1. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue \lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. O mesmo valor vale vindos da esquerda porque a função \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} tem limite 1 quando x\to0 (o seno é ímpar e o quociente tende ao mesmo valor). Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Agora para a nossa peça x<0 temos f(x)=\dfrac{b\operatorname{sen} x}{3x}=\dfrac{b}{3}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}. Assim, usando o limite acima:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\frac{b}{3}\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=\frac{b}{3}\cdot 1=\frac{b}{3}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x).
Para 0\le x<2 temos f(x)=a(x^{2}-1). A função x\mapsto x^{2}-1 é polinomial e, portanto, contínua em todo ponto; então o limite quando x\to0^+ é simplesmente o valor da expressão em x=0:
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} a(x^{2}-1)=a(0^{2}-1)=a(-1)=-a.

Passo 4

Resumo parcial (útil para continuidade em 0):
\lim_{x\to0^-} f(x)=\frac{b}{3},\qquad \lim_{x\to0^+} f(x)=-a.
Além disso o valor da função em 0 (quando x=0) é dado pela definição para 0\le x<2, isto é f(0)=-a.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x).
Para 0\le x<2 temos f(x)=a(x^{2}-1). Sendo polinomial, o limite pelo lado esquerdo em x=2 é o valor da expressão em 2:
\lim_{x\to2^-} f(x)=a(2^{2}-1)=a(4-1)=3a.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x).
Para x\ge2 temos f(x)=x+a, que é contínua. Então o limite pelo lado direito em x=2 é
\lim_{x\to2^+} f(x)=2+a.

Passo 7

Resumo parcial (útil para continuidade em 2):
\lim_{x\to2^-} f(x)=3a,\qquad \lim_{x\to2^+} f(x)=2+a.
O valor da função em 2 é dado pela definição para x\ge2, logo f(2)=2+a.

Passo 8

Condições de continuidade em \mathbb{R}.
Uma função é contínua em todo \mathbb{R} se for contínua em todos os pontos; aqui as possíveis descontinuidades só podem ocorrer nas “junções” x=0 e x=2. Então exigimos continuidade nesses pontos.
Para x=0: continuidade exige \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0). Já vimos que \lim_{x\to0^-} f(x)=\dfrac{b}{3} e f(0)=-a. Igualando os limites:
\frac{b}{3} = -a \quad\Longrightarrow\quad b = -3a.
Para x=2: continuidade exige \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x)=\lim_{x\to2^+} f(x)=f(2). Já vimos que \lim_{x\to2^-} f(x)=3a e f(2)=2+a. Igualando:
3a = 2+a \quad\Longrightarrow\quad 2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a=1.
Substituindo a=1 na relação b=-3a obtemos b=-3.

Passo 9

Conclusão geral: para que f seja contínua em todo \mathbb{R} devemos ter a=1 e b=-3. Se alguma das duas condições falhar, f terá pelo menos uma descontinuidade em 0 ou em 2.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=\frac{b}{3}
(a) \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x)=-a
(b) \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x)=3a
(b) \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x)=2+a
(c) Para f ser contínua em \mathbb{R}: a=1 e b=-3

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