O enunciado faz três perguntas:
(a) Determinar \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x).
(b) Determinar \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x).
(c) Encontrar condições sobre a,b\in\mathbb{R} para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações úteis dadas no enunciado:
Para x<0: f(x)=\dfrac{b\operatorname{sen}(x)}{3x}.
Para 0\le x<2: f(x)=a(x^{2}-1).
Para x\ge2: f(x)=x+a.
Nada mais foi fornecido; vamos usar limites e a definição de continuidade para responder.]
Passo 2
Calcular \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x).
Primeiro recorde importante (resultado padrão de limites): \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Breve justificativa desse resultado (intuição): para x pequeno e positivo existe a desigualdade \cos x \le \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\le 1. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue \lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. O mesmo valor vale vindos da esquerda porque a função \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} tem limite 1 quando x\to0 (o seno é ímpar e o quociente tende ao mesmo valor). Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Agora para a nossa peça x<0 temos f(x)=\dfrac{b\operatorname{sen} x}{3x}=\dfrac{b}{3}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}. Assim, usando o limite acima:
Calcular \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x).
Para 0\le x<2 temos f(x)=a(x^{2}-1). A função x\mapsto x^{2}-1 é polinomial e, portanto, contínua em todo ponto; então o limite quando x\to0^+ é simplesmente o valor da expressão em x=0:
Além disso o valor da função em 0 (quando x=0) é dado pela definição para 0\le x<2, isto é f(0)=-a.
Passo 5
Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x).
Para 0\le x<2 temos f(x)=a(x^{2}-1). Sendo polinomial, o limite pelo lado esquerdo em x=2 é o valor da expressão em 2:
\lim_{x\to2^-} f(x)=a(2^{2}-1)=a(4-1)=3a.
Passo 6
Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x).
Para x\ge2 temos f(x)=x+a, que é contínua. Então o limite pelo lado direito em x=2 é
O valor da função em 2 é dado pela definição para x\ge2, logo f(2)=2+a.
Passo 8
Condições de continuidade em \mathbb{R}.
Uma função é contínua em todo \mathbb{R} se for contínua em todos os pontos; aqui as possíveis descontinuidades só podem ocorrer nas “junções” x=0 e x=2. Então exigimos continuidade nesses pontos.
Para x=0: continuidade exige \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0). Já vimos que \lim_{x\to0^-} f(x)=\dfrac{b}{3} e f(0)=-a. Igualando os limites:
\frac{b}{3} = -a \quad\Longrightarrow\quad b = -3a.
Para x=2: continuidade exige \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x)=\lim_{x\to2^+} f(x)=f(2). Já vimos que \lim_{x\to2^-} f(x)=3a e f(2)=2+a. Igualando:
Conclusão geral: para que f seja contínua em todo \mathbb{R} devemos ter a=1 e b=-3. Se alguma das duas condições falhar, f terá pelo menos uma descontinuidade em 0 ou em 2.