Questão 4: Faça o que se pede:
Determine a primeira derivada de h(x)=\frac{x^{\pi} \cos (x)}{x^{3}-4 x+1}.

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\frac{x^{\pi}\cos(x)}{x^{3}-4x+1}
e pede para determinar a primeira derivada h'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o produto de duas funções: x^{\pi} e \cos(x).
  • O denominador é o polinômio x^{3}-4x+1.
  • A constante \pi é a conhecida constante irracional (aprox. 3{,}1415\ldots).
  • É preciso aplicar regras de diferenciação (regra do produto, regra do quociente e derivadas elementares).
Observação útil sobre domínio (importante para a derivada de x^{\pi}): a expressão x^{\pi} como função real é usualmente considerada para x>0. A derivação que vou usar parte da representação x^{\pi}=e^{\pi\ln x}, válida para x>0.

Passo 2

Relembrando fórmulas que vamos usar (com explicação):
  • Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicação rápida: deriva-se o numerador u deixando o denominador v e subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador; divide-se pelo quadrado do denominador.
  • Regra do produto: se u(x)=f(x)g(x), então
u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Explicação: a variação do produto é soma das variações de cada fator mantido o outro.
  • Derivada de \cos(x): \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Derivada de uma potência com expoente constante: para x^{a} com a constante (e x>0) vale
\frac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}.
Justificativa rápida (via exponencial): escrevendo x^{a}=e^{a\ln x} e diferenciando obtemos a x^{a-1}.
  • Derivada de um polinômio: para p(x)=x^{n} tem-se \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; para soma e múltiplos aplicam-se linearidade.

Passo 3

Identifico as peças para aplicar a regra do quociente:
  • Numerador u(x)=x^{\pi}\cos(x).
  • Denominador v(x)=x^{3}-4x+1.
Vou calcular u'(x) usando a regra do produto, separando f(x)=x^{\pi} e g(x)=\cos(x).
Derivadas individuais:
  • Para f(x)=x^{\pi} (com x>0) temos, pela regra da potência com expoente constante,
f'(x)=\pi x^{\pi-1}.
  • Para g(x)=\cos(x) temos
g'(x)=-\sin(x).

Passo 4

Aplicando a regra do produto em u(x)=f(x)g(x):
u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) =\pi x^{\pi-1}\cos(x)+x^{\pi}(-\sin(x)).
Simplificando:
u'(x)=\pi x^{\pi-1}\cos(x)-x^{\pi}\sin(x).
Também é conveniente fatorar x^{\pi-1} em u'(x):
u'(x)=x^{\pi-1}\big(\pi\cos(x)-x\sin(x)\big).

Passo 5

Derivo o denominador v(x)=x^{3}-4x+1 usando a regra do poder termo a termo:
v'(x)=3x^{2}-4.

Passo 6

Agora aplico a regra do quociente com u,u',v,v':
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u(x)=x^{\pi}\cos(x), u'(x)=\pi x^{\pi-1}\cos(x)-x^{\pi}\sin(x), v(x)=x^{3}-4x+1, v'(x)=3x^{2}-4, obtenho
h'(x)=\frac{\big(\pi x^{\pi-1}\cos(x)-x^{\pi}\sin(x)\big)(x^{3}-4x+1)-x^{\pi}\cos(x)(3x^{2}-4)}{(x^{3}-4x+1)^{2}}.

Passo 7

Fatorando x^{\pi-1} na expressão do numerador para uma forma mais compacta:
h'(x)=\frac{x^{\pi-1}\Big[(\pi\cos(x)-x\sin(x))(x^{3}-4x+1)-x\cos(x)(3x^{2}-4)\Big]}{(x^{3}-4x+1)^{2}}.
Essa é uma forma limpa e correta da derivada, válida para x>0 (onde x^{\pi} está bem definida como função real) e para valores de x tais que x^{3}-4x+1\neq0 (evitar divisão por zero).

Resposta

h'(x)=\frac{x^{\pi-1}\Big[(\pi\cos(x)-x\sin(x))(x^{3}-4x+1)-x\cos(x)(3x^{2}-4)\Big]}{(x^{3}-4x+1)^{2}}.

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