Questão 4: Faça o que se pede:
Determine a primeira derivada de
.
Determine a primeira derivada de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a primeira derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é o produto de duas funções:
e . - O denominador é o polinômio
. - A constante
é a conhecida constante irracional (aprox. ). - É preciso aplicar regras de diferenciação (regra do produto, regra do quociente e derivadas elementares).
Observação útil sobre domínio (importante para a derivada de
): a expressão
como função real é usualmente considerada para
. A derivação que vou usar parte da representação
, válida para
.
Passo 2
Relembrando fórmulas que vamos usar (com explicação):
- Regra do quociente: se
com , então
Explicação rápida: deriva-se o numerador
deixando o denominador
e subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador; divide-se pelo quadrado do denominador.
- Regra do produto: se
, então
Explicação: a variação do produto é soma das variações de cada fator mantido o outro.
-
Derivada de
: . -
Derivada de uma potência com expoente constante: para
com constante (e ) vale
Justificativa rápida (via exponencial): escrevendo
e diferenciando obtemos
.
- Derivada de um polinômio: para
tem-se ; para soma e múltiplos aplicam-se linearidade.
Passo 3
Identifico as peças para aplicar a regra do quociente:
- Numerador
. - Denominador
.
Vou calcular
usando a regra do produto, separando
e
.
Derivadas individuais:
- Para
(com ) temos, pela regra da potência com expoente constante,
- Para
temos
Passo 4
Aplicando a regra do produto em
:
Simplificando:
Também é conveniente fatorar
em
:
Passo 5
Derivo o denominador
usando a regra do poder termo a termo:
Passo 6
Agora aplico a regra do quociente com
:
Substituindo
,
,
,
, obtenho
Passo 7
Fatorando
na expressão do numerador para uma forma mais compacta:
Essa é uma forma limpa e correta da derivada, válida para
(onde
está bem definida como função real) e para valores de
tais que
(evitar divisão por zero).