Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações relevantes do enunciado:
- A variável
tende para . - As duas parcelas
e são grandes quando é grande; o risco é que tenhamos uma diferença entre duas quantidades grandes, o que pode dar indeterminação do tipo . - O objetivo é calcular o valor numérico (se existir) desse limite.
Passo 2
Ideia de resolução (passo técnico): quando aparece diferença de raízes quadradas grandes, uma técnica prática é multiplicar por conjugado para “racionalizar” e eliminar a indeterminação. Vou aplicar isso diretamente ao integrando.
Multiplicando por conjugado obtemos:
Multiplicando por conjugado obtemos:
No numerador fica a diferença de quadrados, então
Passo 3
Calcular o numerador resultante:
Portanto a expressão do limite virou
Passo 4
Fatorar
nas raízes para simplificar o comportamento quando
. Como estamos fazendo
, podemos usar
(porque para grandes
positivos
). Assim:
Substituindo no denominador:
Assim a fração fica
Passo 5
Avaliar o limite usando continuidade das funções envolvidas. Quando
temos
,
e
. Como a função
é contínua perto de
, segue que
Portanto o denominador tenderá a
, e o numerador tenderá a
. Logo o limite é
Passo 6
Comentário didático rápido para fixar: uma forma rápida de lembrar é que, para constantes
e
,
No nosso caso
, então o limite é
. (Aqui essa fórmula vem do mesmo procedimento de fatorar
ou usar conjugado; não é mágica.)