Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 x}-\sqrt{x^{2}+5}\right)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5}\right).
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável x tende para +\infty.
  • As duas parcelas \sqrt{x^{2}-5x} e \sqrt{x^{2}+5} são grandes quando x é grande; o risco é que tenhamos uma diferença entre duas quantidades grandes, o que pode dar indeterminação do tipo \infty-\infty.
  • O objetivo é calcular o valor numérico (se existir) desse limite.

Passo 2

Ideia de resolução (passo técnico): quando aparece diferença de raízes quadradas grandes, uma técnica prática é multiplicar por conjugado para “racionalizar” e eliminar a indeterminação. Vou aplicar isso diretamente ao integrando.
Multiplicando por conjugado obtemos:
\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5}\big)\big(\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}\big)} {\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}}.
No numerador fica a diferença de quadrados, então
\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5} = \frac{(x^{2}-5x)-(x^{2}+5)}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}}.

Passo 3

Calcular o numerador resultante:
(x^{2}-5x)-(x^{2}+5)= -5x-5 = -5(x+1).
Portanto a expressão do limite virou
\lim_{x\to\infty}\frac{-5(x+1)}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}}.

Passo 4

Fatorar x nas raízes para simplificar o comportamento quando x\to\infty. Como estamos fazendo x\to+\infty, podemos usar \sqrt{x^{2}}=x (porque para grandes x positivos |x|=x). Assim:
\sqrt{x^{2}-5x}=x\sqrt{1-\frac{5}{x}}, \qquad \sqrt{x^{2}+5}=x\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}}.
Substituindo no denominador:
\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}=x\!\left(\sqrt{1-\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}}\right).
Assim a fração fica
\frac{-5(x+1)}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}} = \frac{-5\big(1+\tfrac{1}{x}\big)}{\sqrt{1-\tfrac{5}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{5}{x^{2}}}}.

Passo 5

Avaliar o limite usando continuidade das funções envolvidas. Quando x\to\infty temos \tfrac{1}{x}\to0, \tfrac{5}{x}\to0 e \tfrac{5}{x^{2}}\to0. Como a função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua perto de t=0, segue que
\sqrt{1-\tfrac{5}{x}}\to1 \qquad\text{e}\qquad \sqrt{1+\tfrac{5}{x^{2}}}\to1.
Portanto o denominador tenderá a 1+1=2, e o numerador tenderá a -5. Logo o limite é
\lim_{x\to\infty}\frac{-5\big(1+\tfrac{1}{x}\big)}{\sqrt{1-\tfrac{5}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{5}{x^{2}}}} = \frac{-5\cdot 1}{1+1}=-\frac{5}{2}.

Passo 6

Comentário didático rápido para fixar: uma forma rápida de lembrar é que, para constantes a e b,
\lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x^{2}+ax}-\sqrt{x^{2}+b}\big)=\frac{a}{2}.
No nosso caso a=-5, então o limite é \tfrac{-5}{2}. (Aqui essa fórmula vem do mesmo procedimento de fatorar x ou usar conjugado; não é mágica.)

Resposta

-\dfrac{5}{2}

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