Nos problemas a seguir, determine a equação diferencial correspondente e encontre sua solução:
Numa máquina, há um bloco de 10kg está acoplado a uma mola, com constante elástica igual a 20, \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a um amortecedor, com constante de amortecimento igual a 0,25 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. A partir da posição inicial igual a 0 m , esse sistema massa-mola é solto com velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a expressão que fornece a posição do bloco em qualquer instante t. Qual é a posição do bloco após 8s? Qual deve ser a posição do bloco quando t \rightarrow+\infty ? Explique sua resposta.
Solução: x(t)=(16 / \sqrt{127}) e^{-\frac{t}{8}} \operatorname{sen}\left(\sqrt{127} \frac{t}{8}\right)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede três coisas (tudo retirado do texto do problema):
  • Massa do bloco: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=20\\ \mathrm{N/m}.
  • Constante de amortecimento informada no enunciado: c=0{,}25\\ \mathrm{Ns/m}.
  • Condições iniciais: posição inicial x(0)=0 e velocidade inicial x'(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
    As perguntas são:
  1. Determinar a equação diferencial do sistema e encontrar a solução x(t) que satisfaz as condições iniciais.
  2. Calcular a posição do bloco quando t=8\\ \mathrm{s}.
  3. Determinar \lim_{t\to+\infty} x(t) e explicar.
Observação importante (indicada para evitar surpresas): o enunciado finalizou mostrando uma “Solução” proposta
x(t)=\frac{16}{\sqrt{127}}\,e^{-\frac{t}{8}}\sin\!\left(\sqrt{127}\,\frac{t}{8}\right).
Ao longo da resolução vou mostrar o procedimento com os números que o enunciado deu ( c=0{,}25). No final explico a razão da diferença entre a solução que obtivemos com c=0{,}25 e a expressão que o enunciado apresentou (essa expressão corresponde, na verdade, a c=2{,}5, e vou mostrar isso).

Passo 2

Montando a equação diferencial: aplicação de Segunda Lei de Newton. Forças no eixo x: força elástica da mola -kx e força de amortecimento proporcional à velocidade -c x'. Somando as forças e igualando a m x'' resulta a equação
m x'' + c x' + k x = 0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. As condições iniciais são
x(0)=0,\qquad x'(0)=2.
Explicando fisicamente cada termo, para você ficar confortável:
  • m x'' é a massa vezes a aceleração (inércia).
  • -k x é a força restauradora da mola (lei de Hooke), onde k mede a rigidez.
  • -c x' é a força de amortecimento viscosa, proporcional à velocidade, onde c mede quanto o amortecedor “dissipa” movimento.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão dividindo por m:
x'' + \frac{c}{m} x' + \frac{k}{m} x = 0.
É útil definir
\text{taxa de amortecimento } \alpha = \frac{c}{2m},\qquad \text{frequência natural } \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.ê
Com essas definições a equação fica
x'' + 2\alpha x' + \omega_0^2 x = 0.
Agora substituo os valores numéricos (usando c=0{,}25 conforme o enunciado):
\omega_0^2=\frac{k}{m}=\frac{20}{10}=2,\qquad \omega_0=\sqrt{2}.
\alpha=\frac{c}{2m}=\frac{0{,}25}{2\cdot 10}=\frac{0{,}25}{20}=0{,}0125.
Para classificar o movimento comparamos \alpha^2 e \omega_0^2:
\alpha^2=(0{,}0125)^2=0{,}00015625\ll \omega_0^2=2,
logo o sistema é subamortecido (underdamped): temos oscilações amortecidas.
A forma geral da solução para o caso subamortecido é
x(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde a frequência amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{2-\alpha^2}.

Passo 4

Determinação das constantes A e B a partir das condições iniciais.
Em t=0:
x(0)=e^{0}\bigl(A\cos 0 + B\sin 0\bigr)=A=0,
portanto A=0.
Derivo x(t) para usar x'(0)=2. Com A=0,
x(t)=e^{-\alpha t}B\sin(\omega_d t).
A derivada é (uso regra do produto e derivada da função seno):
x'(t)= -\alpha e^{-\alpha t}B\sin(\omega_d t) + e^{-\alpha t} B \omega_d \cos(\omega_d t).
Em t=0:
x'(0)= -\alpha B\cdot 0 + B \omega_d \cdot 1 = B \omega_d = 2.
Logo
B=\frac{2}{\omega_d}.
Portanto a solução completa (com c=0{,}25) é
x(t)=\frac{2}{\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t),
onde, repetindo os valores:
\alpha=0{,}0125,\qquad \omega_d=\sqrt{2-(0{,}0125)^2}=\sqrt{1{,}99984375}\approx 1{,}4141583.
Assim, numericamente,
\frac{2}{\omega_d}\approx 1{,}41439,
e podemos escrever a solução aproximada
x(t)\approx 1{,}41439\,e^{-0{,}0125 t}\sin(1{,}4141583\,t).
Comentário didático rápido sobre o porquê dessa forma: o termo exponencial e^{-\alpha t} representa o amortecimento que faz as oscilações diminuírem com o tempo; o \sin(\omega_d t) descreve as oscilações com frequência ligeiramente menor que \omega_0 devido ao amortecimento; os coeficientes A,B são fixados pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular a posição em t=8\\ \mathrm{s} substituindo na fórmula obtida.
Usando a expressão numérica:
x(8)=\frac{2}{\omega_d}\,e^{-\alpha\cdot 8}\sin(\omega_d\cdot 8).
Com os valores numéricos calculados:
\alpha=0{,}0125,\qquad \omega_d\approx 1{,}4141583,\qquad \frac{2}{\omega_d}\approx 1{,}41439.
Calculo intermediário:
e^{-\alpha\cdot 8}=e^{-0{,}0125\cdot 8}=e^{-0{,}1}\approx 0{,}904837418.
\omega_d\cdot 8 \approx 1{,}4141583\cdot 8 \approx 11{,}3132664,
e
\sin(11{,}3132664)\approx -0{,}94982\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
Multiplicando:
x(8)\approx 1{,}41439\cdot 0{,}904837418\cdot(-0{,}94982)\approx -1{,}2159\\ \mathrm{m}.
Portanto a posição do bloco aos 8\\ \mathrm{s} é aproximadamente -1{,}216\\ \mathrm{m} (sinal negativo indica que está do lado oposto à posição inicial, conforme o eixo escolhido).

Passo 6

Comportamento quando t\to+\infty. A solução tem fator multiplicativo exponencial e^{-\alpha t} com \alpha>0. Portanto
\lim_{t\to+\infty} x(t)=0.
Explicação em palavras: o amortecimento dissipa energia, de modo que as oscilações vão decaindo e a massa tende à posição de equilíbrio x=0.

Passo 7

Agora explico a discrepância: a expressão dada no enunciado
x(t)=\frac{16}{\sqrt{127}}\,e^{-\frac{t}{8}}\sin\!\left(\sqrt{127}\,\frac{t}{8}\right)
corresponde a um sistema com taxa de amortecimento \alpha=\tfrac{1}{8}=0{,}125. Se exigirmos \alpha=\dfrac{c}{2m}=\tfrac{1}{8} com m=10, obtemos c=2m\alpha=20\cdot \tfrac{1}{8}=2{,}5\\ \mathrm{Ns/m}. Ou seja, a expressão dada no enunciado é consistente com c=2{,}5, não com c=0{,}25. Com c=2{,}5 tem-se
\alpha=\frac{2{,}5}{2\cdot 10}=0{,}125,\qquad \omega_d=\sqrt{\frac{k}{m}-\alpha^2}=\sqrt{2-(0{,}125)^2}=\sqrt{\tfrac{127}{64}}=\frac{\sqrt{127}}{8},
e as condições iniciais levam ao fator \tfrac{16}{\sqrt{127}} mostrado. Portanto a diferença vem de um valor diferente do coeficiente de amortecimento (provavelmente um erro de digitação decimal no enunciado original).

Resposta

x(t)=\dfrac{2}{\sqrt{2-(0{,}0125)^2}}\,e^{-0{,}0125\,t}\sin\!\bigl(\sqrt{2-(0{,}0125)^2}\;t\bigr)\approx 1{,}41439\,e^{-0{,}0125 t}\sin(1{,}4141583\,t)
x(8)\approx -1{,}2159\\ \mathrm{m}
\displaystyle \lim_{t\to+\infty}x(t)=0

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