Nos problemas a seguir, determine a equação diferencial correspondente e encontre sua solução:
Numa máquina, há um bloco de 10kg está acoplado a uma mola, com constante elástica igual a
e a um amortecedor, com constante de amortecimento igual a
. A partir da posição inicial igual a 0 m , esse sistema massa-mola é solto com velocidade inicial de
. Determine a expressão que fornece a posição do bloco em qualquer instante t. Qual é a posição do bloco após 8s? Qual deve ser a posição do bloco quando
? Explique sua resposta.
Solução:
Numa máquina, há um bloco de 10kg está acoplado a uma mola, com constante elástica igual a
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede três coisas (tudo retirado do texto do problema):
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Constante de amortecimento informada no enunciado:
. - Condições iniciais: posição inicial
e velocidade inicial .
As perguntas são:
- Determinar a equação diferencial do sistema e encontrar a solução
que satisfaz as condições iniciais. - Calcular a posição do bloco quando
. - Determinar
e explicar.
Observação importante (indicada para evitar surpresas): o enunciado finalizou mostrando uma “Solução” proposta
Ao longo da resolução vou mostrar o procedimento com os números que o enunciado deu (
). No final explico a razão da diferença entre a solução que obtivemos com
e a expressão que o enunciado apresentou (essa expressão corresponde, na verdade, a
, e vou mostrar isso).
Passo 2
Montando a equação diferencial: aplicação de Segunda Lei de Newton. Forças no eixo
: força elástica da mola
e força de amortecimento proporcional à velocidade
. Somando as forças e igualando a
resulta a equação
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. As condições iniciais são
Explicando fisicamente cada termo, para você ficar confortável:
-
é a massa vezes a aceleração (inércia). -
é a força restauradora da mola (lei de Hooke), onde mede a rigidez. -
é a força de amortecimento viscosa, proporcional à velocidade, onde mede quanto o amortecedor “dissipa” movimento.
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão dividindo por
:
É útil definir
Com essas definições a equação fica
Agora substituo os valores numéricos (usando
conforme o enunciado):
Para classificar o movimento comparamos
e
:
logo o sistema é subamortecido (underdamped): temos oscilações amortecidas.
A forma geral da solução para o caso subamortecido é
onde a frequência amortecida é
Passo 4
Determinação das constantes
e
a partir das condições iniciais.
Em
:
portanto
.
Derivo
para usar
. Com
,
A derivada é (uso regra do produto e derivada da função seno):
Em
:
Logo
Portanto a solução completa (com
) é
onde, repetindo os valores:
Assim, numericamente,
e podemos escrever a solução aproximada
Comentário didático rápido sobre o porquê dessa forma: o termo exponencial
representa o amortecimento que faz as oscilações diminuírem com o tempo; o
descreve as oscilações com frequência ligeiramente menor que
devido ao amortecimento; os coeficientes
são fixados pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular a posição em
substituindo na fórmula obtida.
Usando a expressão numérica:
Com os valores numéricos calculados:
Calculo intermediário:
e
Multiplicando:
Portanto a posição do bloco aos
é aproximadamente
(sinal negativo indica que está do lado oposto à posição inicial, conforme o eixo escolhido).
Passo 6
Comportamento quando
. A solução tem fator multiplicativo exponencial
com
. Portanto
Explicação em palavras: o amortecimento dissipa energia, de modo que as oscilações vão decaindo e a massa tende à posição de equilíbrio
.
Passo 7
Agora explico a discrepância: a expressão dada no enunciado
corresponde a um sistema com taxa de amortecimento
. Se exigirmos
com
, obtemos
. Ou seja, a expressão dada no enunciado é consistente com
, não com
. Com
tem-se
e as condições iniciais levam ao fator
mostrado. Portanto a diferença vem de um valor diferente do coeficiente de amortecimento (provavelmente um erro de digitação decimal no enunciado original).