Questão 2
Considere a função f: R^2 longrightarrow R, definida por f(x, y)=raiz[4]x y.
(a) (1,0 ponto) Caso existam, calcule as derivadas parciais de f no ponto ( 0,0 );
(b) (1,0 ponto) Utilizando a definição de diferenciabilidade, mostre que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=raiz[4]x,y
e pede: (a) as derivadas parciais de f em (0,0); (b) usar a definição de diferenciabilidade para mostrar que f não é diferenciável em (0,0). Vamos aplicar a definição de derivada parcial e depois o critério de diferenciabilidade via limite do resto dividido pela norma do vetor.

Passo 2

Para a derivada parcial em x temos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz[4]hcdot0-0h =limhto00h =0
De modo análogo, para y:
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,0+k)-f(0,0)k =limkto0raiz[4]0cdot k-0k =0

Passo 3

Recordando a definição, f seria diferenciável em (0,0) se existisse uma aplicação linear
L(x,y)=A,x+B,y
tal que
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)raizx^2+y^2 =0
Os coeficientes A e B devem ser as derivadas parciais em (0,0), ou seja, A=0 e B=0. Logo o candidato é
L(x,y)=0

Passo 4

Para esse L, o “resto” fica
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=raiz[4]x,y,
e o critério exige
lim(x,y)to(0,0) raiz[4]x,yraizx^2+y^2 =0
se f fosse diferenciável. Mas, ao longo da reta y=x>0,
raiz[4]xcdot xraizx^2+x^2 =(x^2)^1/4raiz2,|x| =|x|^tfrac12raiz2,|x| =1raiz2,|x|^-tfrac12 ;xrightarrow[xto0];+infty
Como esse limite não é zero (nem finito), o critério de diferenciabilidade falha.

Resposta

(a) partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.
(b) f não é diferenciável em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-0-0raizx^2+y^2neq0.

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