Questão 2
Considere a função , definida por .
(a) (1,0 ponto) Caso existam, calcule as derivadas parciais de no ponto ( 0,0 );
(b) (1,0 ponto) Utilizando a definição de diferenciabilidade, mostre que não é diferenciável em .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: (a) as derivadas parciais de em ; (b) usar a definição de diferenciabilidade para mostrar que não é diferenciável em . Vamos aplicar a definição de derivada parcial e depois o critério de diferenciabilidade via limite do resto dividido pela norma do vetor.
Passo 2
Para a derivada parcial em temos
De modo análogo, para :
Passo 3
Recordando a definição, seria diferenciável em se existisse uma aplicação linear
tal que
Os coeficientes e devem ser as derivadas parciais em , ou seja, e . Logo o candidato é
Passo 4
Para esse , o “resto” fica
e o critério exige
se fosse diferenciável. Mas, ao longo da reta ,
Como esse limite não é zero (nem finito), o critério de diferenciabilidade falha.
Resposta
(a) partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.
(b) f não é diferenciável em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-0-0raizx^2+y^2neq0.