Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
integral d xx^3 raizx^2-9

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxx^3raizx^2-9
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição padrão para expressões da forma raizx^2-a^2, ou seja
x = asectheta, a=3,
e lembrar a identidade de meia-ângulo para cos^2theta.

Passo 2

Fazendo
x = 3sectheta
temos
dx = 3secthetatantheta,dtheta, raizx^2-9 = raiz9sec^2theta-9 = 3tantheta, x^3 = 27sec^3theta
Substituindo na integral,
integral dxx^3raizx^2-9 = integral 3secthetatantheta,dtheta27sec^3theta ,l(3tanthetar)

Passo 3

No numerador e denominador simplificam tantheta e fatores constantes:
3secthetatantheta27sec^3thetacdot3tantheta = 381,secthetasec^3theta = 127,1sec^2theta = 127cos^2theta
Logo a integral vira
integral dxx^3raizx^2-9 = 127integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usando a identidade de meia-ângulo
cos^2theta = 1+cos(2theta)2,
temos
127integral cos^2theta,dtheta = 127integral 1+cos(2theta)2,dtheta = 154integrall(1+cos(2theta)r),dtheta = 154l(theta + tfrac12sin(2theta)r)+C

Passo 5

Voltando a : da substituição segue
Além disso,
Substituindo em ,

Resposta

integral dxx^3raizx^2-9 = 154,arctan!l(raizx^2-93r) + 118,raizx^2-9x^2 + C

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