Questão 3. Considere a função
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio de grau 3, definido para todos os x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é identificar onde f cresce (aumenta) e onde f decresce (diminui).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aulas rápidas):
  • A derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f. Intuitivamente, se f'(x)>0 em um intervalo, a função sobe ali (é crescente); se f'(x)<0, a função desce (é decrescente).
  • Para polinômios, a derivada é obtida termo a termo usando a regra \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui cada coeficiente e potência será tratado assim.
Portanto o método: calcular f'(x), achar os pontos onde f'(x)=0 (pontos críticos), e analisar o sinal de f'(x) nos intervalos definidos por esses pontos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo:
Usando a regra do poder em cada termo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-12x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(9x\bigr)=9.
Somando os termos, obtemos
f'(x)=3x^{2}-12x+9.

Passo 4

Fatorar f'(x) para facilitar a solução de f'(x)=0:
Primeiro, tirar fator comum 3:
f'(x)=3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr).
Agora fatorar o quadrático x^{2}-4x+3. Procuramos dois números cuja soma é -4 e produto é 3; esses números são -1 e -3. Assim
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto
f'(x)=3(x-1)(x-3).

Passo 5

Determinar os pontos onde f'(x)=0 (pontos críticos):
Da fatoração temos zeros nas soluções de
3(x-1)(x-3)=0,
logo
x=1\quad\text{e}\quad x=3.
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-\infty,1), (1,3) e (3,\infty). Vamos analisar o sinal de f'(x) em cada um.

Passo 6

Análise de sinal de f'(x) em cada intervalo (teste com pontos):
  • Para (-\infty,1), escolho x=0. Calcular
f'(0)=3(0-1)(0-3)=3(-1)(-3)=3\cdot 3=9>0.
Logo f'(x)>0 em (-\infty,1).
  • Para (1,3), escolho x=2. Calcular
f'(2)=3(2-1)(2-3)=3(1)(-1)= -3<0.
Logo f'(x)<0 em (1,3).
  • Para (3,\infty), escolho x=4. Calcular
f'(4)=3(4-1)(4-3)=3(3)(1)=9>0.
Logo f'(x)>0 em (3,\infty).
Explicação curta do porquê desse teste funcionar: cada fator (x-1) e (x-3) tem sinal constante dentro de cada intervalo, então o produto determina o sinal de f'(x).

Passo 7

Interpretação final do sinal de f'(x) em termos de monotonicidade:
  • Onde f'(x)>0, f é crescente.
  • Onde f'(x)<0, f é decrescente.
Com base na análise:
  • f é crescente em (-\infty,1) porque f'(x)>0 ali.
  • f é decrescente em (1,3) porque f'(x)<0 ali.
  • f é crescente em (3,\infty) porque f'(x)>0 ali.
Observação adicional (útil na prova): como o sinal de f' muda de positivo para negativo em x=1, há um máximo local em x=1. Como o sinal muda de negativo para positivo em x=3, há um mínimo local em x=3. (Se precisar, pode-se calcular f(1)=4 e f(3)=0.)

Resposta

Crescimento: (-\infty,1)\cup(3,\infty)
Decrescimento: (1,3)

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