Questão 3. Considere a função
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio de grau
, definido para todos os . - O objetivo é identificar onde
cresce (aumenta) e onde decresce (diminui).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aulas rápidas):
- A derivada
mede a taxa de variação instantânea de . Intuitivamente, se em um intervalo, a função sobe ali (é crescente); se , a função desce (é decrescente). - Para polinômios, a derivada é obtida termo a termo usando a regra
. Aqui cada coeficiente e potência será tratado assim.
Portanto o método: calcular
, achar os pontos onde
(pontos críticos), e analisar o sinal de
nos intervalos definidos por esses pontos.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo:
Usando a regra do poder em cada termo,
Usando a regra do poder em cada termo,
Somando os termos, obtemos
Passo 4
Fatorar
para facilitar a solução de
:
Primeiro, tirar fator comum :
Primeiro, tirar fator comum
Agora fatorar o quadrático
. Procuramos dois números cuja soma é
e produto é
; esses números são
e
. Assim
Portanto
Passo 5
Determinar os pontos onde
(pontos críticos):
Da fatoração temos zeros nas soluções de
Da fatoração temos zeros nas soluções de
logo
Esses pontos particionam a reta em três intervalos:
,
e
. Vamos analisar o sinal de
em cada um.
Passo 6
Análise de sinal de
em cada intervalo (teste com pontos):
- Para
, escolho . Calcular
Logo
em
.
- Para
, escolho . Calcular
Logo
em
.
- Para
, escolho . Calcular
Logo
em
.
Explicação curta do porquê desse teste funcionar: cada fator
e
tem sinal constante dentro de cada intervalo, então o produto determina o sinal de
.
Passo 7
Interpretação final do sinal de
em termos de monotonicidade:
- Onde
, é crescente. - Onde
, é decrescente.
Com base na análise:
-
é crescente em porque ali. -
é decrescente em porque ali. -
é crescente em porque ali.
Observação adicional (útil na prova): como o sinal de
muda de positivo para negativo em
, há um máximo local em
. Como o sinal muda de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
. (Se precisar, pode-se calcular
e
.)
Resposta
Crescimento:
Decrescimento:
Decrescimento: