Questão 4. Considere a função
f(x)=x^{4}-4 x^{2} .
Usando a primeira e a segunda derivadas, determine os extremos relativos da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{4}-4x^{2}.
O que se pede: determinar os extremos relativos da função usando a primeira e a segunda derivadas. Ou seja:
  • Encontrar todos os pontos críticos x tais que f'(x)=0.
  • Para cada ponto crítico, dizer se é máximo relativo, mínimo relativo ou inconclusivo.
  • Informar as coordenadas desses pontos (valor de x e o correspondente f(x)).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada passo a passo e achar os pontos críticos.
Primeiro, a regra que usaremos (explicação curta e útil): a regra do potência diz que a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aplicando isso termo a termo numa soma/subtração de potências funciona normalmente.
Derivando f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr).
Usando a regra do potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=4\cdot 2x=8x.
Portanto
f'(x)=4x^{3}-8x.
Fatorando para resolver f'(x)=0:
f'(x)=4x^{3}-8x=4x\bigl(x^{2}-2\bigr)=4x\bigl(x-\sqrt{2}\bigr)\bigl(x+\sqrt{2}\bigr).
Logo os pontos críticos são as raízes:
x=0,\quad x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada e usamos o teste da segunda derivada (explicando o teste): se f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo relativo em x=c; se f''\text{(c)}<0 então tem máximo relativo; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
Derivando f'(x)=4x^{3}-8x:
f''(x)=12x^{2}-8.
Podemos também escrever
f''(x)=4\bigl(3x^{2}-2\bigr).
Avaliar em cada ponto crítico:
  • Em x=0:
f''(0)=12\cdot 0^{2}-8=-8<0.
Como f''(0)<0, isso indica que f tem um máximo relativo em x=0.
Calcule o valor da função:
f(0)=0^{4}-4\cdot 0^{2}=0.
  • Em x=\sqrt{2}:
f''(\sqrt{2})=12\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}-8=12\cdot 2-8=24-8=16>0.
Como f''(\sqrt{2})>0, isso indica mínimo relativo em x=\sqrt{2}.
Calcule o valor da função:
f(\sqrt{2})=\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{4}-4\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=4-4\cdot 2=4-8=-4.
  • Em x=-\sqrt{2}:
f''(-\sqrt{2})=12\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{2}-8=12\cdot 2-8=16>0,
logo mínimo relativo em x=-\sqrt{2}.
Calcule o valor:
f(-\sqrt{2})=\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{4}-4\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{2}=4-8=-4.

Passo 4

Vamos complementar com o teste da primeira derivada (explicando o que é): o teste da primeira derivada observa o sinal de f'(x) à esquerda e à direita de um ponto crítico; se f' muda de positivo para negativo é máximo; se muda de negativo para positivo é mínimo.
Análise dos sinais de f'(x)=4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}):
  • Para x< -\sqrt{2} (por exemplo x=-2): 4x<0, (x-\sqrt{2})<0, (x+\sqrt{2})<0 → produto: negativo \Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Para -\sqrt{2}<x<0 (por exemplo x=-1): 4x<0, (x-\sqrt{2})<0, (x+\sqrt{2})>0 → produto: positivo \Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Para 0<x<\sqrt{2} (por exemplo x=1): 4x>0, (x-\sqrt{2})<0, (x+\sqrt{2})>0 → produto: negativo \Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Para x>\sqrt{2} (por exemplo x=2): todos os fatores positivos → produto positivo \Rightarrow f'>0 (crescente).
Conclusão pelo teste da primeira derivada:
  • Em x=-\sqrt{2}: f' muda de negativo para positivo → mínimo (confirma o resultado do segundo teste).
  • Em x=0: f' muda de positivo para negativo → máximo (confirma).
  • Em x=\sqrt{2}: f' muda de negativo para positivo → mínimo (confirma).

Passo 5

Resumo final dos extremos relativos com coordenadas:
  • Máximo relativo em \bigl(0,0\bigr).
  • Mínimo relativo em \bigl(\sqrt{2},-4\bigr).
  • Mínimo relativo em \bigl(-\sqrt{2},-4\bigr).

Resposta

\text{Máximo relativo: }(0,0)á
\text{Mínimo relativo: }(\sqrt{2},-4)í
\text{Mínimo relativo: }(-\sqrt{2},-4)í

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