Questão 4. Considere a função
Usando a primeira e a segunda derivadas, determine os extremos relativos da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que se pede: determinar os extremos relativos da função usando a primeira e a segunda derivadas. Ou seja:
- Encontrar todos os pontos críticos
tais que . - Para cada ponto crítico, dizer se é máximo relativo, mínimo relativo ou inconclusivo.
- Informar as coordenadas desses pontos (valor de
e o correspondente ).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada passo a passo e achar os pontos críticos.
Primeiro, a regra que usaremos (explicação curta e útil): a regra do potência diz que a derivada de
é
. Aplicando isso termo a termo numa soma/subtração de potências funciona normalmente.
Derivando
:
Usando a regra do potência:
Portanto
Fatorando para resolver
:
Logo os pontos críticos são as raízes:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada e usamos o teste da segunda derivada (explicando o teste): se
então
tem mínimo relativo em
; se
então tem máximo relativo; se
o teste é inconclusivo.
Derivando
:
Podemos também escrever
Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
:
Como
, isso indica que
tem um máximo relativo em
.
Calcule o valor da função:
Calcule o valor da função:
- Em
:
Como
, isso indica mínimo relativo em
.
Calcule o valor da função:
Calcule o valor da função:
- Em
:
logo mínimo relativo em
.
Calcule o valor:
Calcule o valor:
Passo 4
Vamos complementar com o teste da primeira derivada (explicando o que é): o teste da primeira derivada observa o sinal de
à esquerda e à direita de um ponto crítico; se
muda de positivo para negativo é máximo; se muda de negativo para positivo é mínimo.
Análise dos sinais de
:
- Para
(por exemplo ): , , → produto: negativo (decrescente). - Para
(por exemplo ): , , → produto: positivo (crescente). - Para
(por exemplo ): , , → produto: negativo (decrescente). - Para
(por exemplo ): todos os fatores positivos → produto positivo (crescente).
Conclusão pelo teste da primeira derivada:
- Em
: muda de negativo para positivo → mínimo (confirma o resultado do segundo teste). - Em
: muda de positivo para negativo → máximo (confirma). - Em
: muda de negativo para positivo → mínimo (confirma).
Passo 5
Resumo final dos extremos relativos com coordenadas:
- Máximo relativo em
. - Mínimo relativo em
. - Mínimo relativo em
.