Questão 4 Considere a função f(x)=\ln \left(\frac{x^{2}-1}{3 x+3}\right). Encontre, se existir, x \in \mathbb{R} tal que f(x)=0.

Passo 1

Opa! O enunciado dá a função
f(x)=\ln\biggl(\frac{x^2-1}{3x+3}\biggr)
e pede para achar x\in\mathbb{R} tal que f(x)=0. Vamos usar a propriedade de logaritmo \ln(t)=0\iff t=1 e checar o domínio, já que o logaritmo exige argumento positivo.

Passo 2

Para f(x) existir, o argumento do ln precisa ser estritamente positivo e o denominador não pode ser zero. Ou seja, é necessário
3x+3\neq 0 \quad\text{e}\quad \frac{x^2-1}{3x+3}>0.

Passo 3

Impondo f(x)=0, temos
\ln\Bigl(\frac{x^2-1}{3x+3}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2-1}{3x+3}=1.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 3x+3 (lembrando x\neq -1) chega-se a
x^2-1 = 3x+3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 3x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-4)(x+1)=0,
logo as raízes são x=4 e x=-1.

Passo 5

Verificando o domínio, x=-1 anula o denominador e sai fora. Para x=4, o argumento do ln fica
\frac{4^2-1}{3\cdot4+3}=\frac{15}{15}=1>0,
então x=4 é válido e único.

Resposta

x=4

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