Questão 5 Resolva, em \mathbb{R}, a equação
\operatorname{sen}^{2} x+\cos x+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação trigonométrica
\operatorname{sen}^{2}x + \cos x + 1 = 0.
O conteúdo principal é usar a identidade pitagórica \operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos^{2}x e depois resolver uma equação quadrática em \cos x.

Passo 2

Aplicamos \operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos^{2}x na equação:
1 - \cos^{2}x + \cos x + 1 = 0.
Somando termos semelhantes, obtemos
-\,\cos^{2}x + \cos x + 2 = 0.
Multiplicando por -1, fica
\cos^{2}x - \cos x - 2 = 0.

Passo 3

Fazemos a substituição t = \cos x. A equação quadrática
t^{2} - t - 2 = 0
tem raízes
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
ou seja t = 2 e t = -1.

Passo 4

Analisando cada caso:
  • t = 2 \cos x = 2, não tem solução real.
  • t = -1 \cos x = -1, cuja solução geral é
x = \pi + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}.

Resposta

x = (2k+1)\,\pi,\quad k \in \mathbb{Z}.

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