Questão 3 Num dia quente, um copo de água gelada é retirado de uma geladeira cuja temperatura é de 6^{\circ} \mathrm{C} e é colocada numa sala onde a temperatura é de 36^{\circ} \mathrm{C}. De acordo com uma lei da Física, a temperatura do refrigerante, após t minutos mais tarde, é dada por T(t)=36-A e^{-k t}, onde A>0, k>0. Supondo que a temperatura do refrigerante é 21^{\circ} C após 10 minutos, responda os itens abaixo:
a. determine os valores de A e k;
b. qual será a temperatura do refrigerante, após 20 minutos?

Passo 1

O enunciado usa a lei de resfriamento de Newton, segundo a qual a temperatura T(t) do refrigerante num ambiente a 36^\circ\mathrm{C} satisfaz
T(t)=36 - A e^{-k t},
com constantes A>0 e k>0. Sabemos que, ao sair da geladeira, T(0)=6^\circ\mathrm{C} e que após 10 minutos T(10)=21^\circ\mathrm{C}. Vamos usar essas duas condições para determinar A e k e depois calcular T(20).

Passo 2

Usando T(0)=6^\circ\mathrm{C}:
T(0)=36 - A e^{-k\cdot0}=36 - A =6
Logo,
A=36 - 6=30.

Passo 3

Usando T(10)=21^\circ\mathrm{C} e o valor de A:
21 = 36 - 30\,e^{-10k}
36 - 21 =30\,e^{-10k}\quad\Longrightarrow\quad15=30\,e^{-10k}
e^{-10k}=\frac{15}{30}=\tfrac12
Tomando logaritmo natural,
-10k=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln2}{10}.

Passo 4

Para t=20 minutos,
T(20)=36 - 30\,e^{-20k}.
Como e^{-20k}=(e^{-10k})^2=(\tfrac12)^2=\tfrac14, segue
T(20)=36 - 30\cdot\tfrac14=36 - 7{,}5=28{,}5^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a. A=30, \displaystyle k=\frac{\ln2}{10}.
b. \,T(20)=28{,}5^\circ\mathrm{C}.

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